Calculadora EV Jackpot Lotaria

A Calculadora de EV do Jackpot precifica só o primeiro prémio. Os valores por omissão recriam um bilhete à Powerball norte-americana: jackpot 100 000 000 dólares, odds 1 em 292 201 338 (isto é C(69,5)×26 duma grelha 5/69+1/26), 1 bilhete, preço 2 dólares, 1 vencedor esperado. Não precisa de jogar Powerball; cole qualquer jackpot anunciado e qualquer 1-em-N oficial.

No Jackpot meta o equivalente em dinheiro (cash), não o cartaz da renda a 30 anos, salvo se quiser mesmo tratar a face da renda como liquidez — isso inflaciona o EV. Nas Odds, use a matriz oficial, não o «um em 300 milhões» arredondado dum blogue. Bilhetes é o número de linhas neste sorteio. Preço é a aposta por linha. Vencedores esperados é o factor pari-mutuel: 1 significa que fica com o poço inteiro se acertar; 2 modela um empate com outro bilhete.

Calcule. O valor esperado é bilhetes × ((jackpot / vencedores) × p − preço) com p = 1/odds. Por omissão: p = 1/292 201 338 ≈ 3,4223×10^−9, quota = 100 milhões, quota×p ≈ 0,3422 dólares, menos 2, EV ≈ −1,66 dólares por bilhete. A hipótese de jackpot é 1−(1−p)^bilhetes; com um bilhete é simplesmente p (cerca de 0,000000342 por cento). A quota do prémio é jackpot/vencedores = 100 milhões aqui.

Suba o jackpot até ao break-even em cash: preço × odds × vencedores = 2 × 292 201 338 × 1 = 584 402 676 dólares. Nesse cartaz, quota×p = 2 e EV = 0 antes de escalões inferiores e imposto. Os anúncios reais de renda Powerball frequentemente imprimem acima disso enquanto a opção cash fica abaixo; converta sempre para cash antes de chamar o bilhete de «EV positivo». Com 2 vencedores esperados, o mesmo jackpot de 100 milhões dá quota de 50 milhões, quota×p ≈ 0,171, EV ≈ −1,83.

A ferramenta ignora 5+0, 4+1 e todos os outros degraus. Esses degraus acrescentam algumas dezenas de cêntimos de EV num bilhete de 2 dólares — insuficientes para virar positivo um jackpot cash de 100 milhões, relevantes quando o cash anda perto do break-even. Imposto, desconto da renda e roll-down ficam de fora; use as calculadoras de imposto e de renda para essas camadas. EV negativo é o preço do sonho, não um erro de arredondamento que se recupera com martingale.

O valor esperado é a lei dos grandes números aplicada a um sorteio: se pudesse comprar o mesmo bilhete sob o mesmo jackpot para sempre, o lucro médio por bilhete convergiria para o EV. Charles Clotfelter e Philip Cook, em Selling Hope (1989) e na literatura de finanças públicas que se seguiu, documentaram que as lotarias são produtos de EV negativo com raros picos de jackpot teoricamente positivos, vendidos a quem sobrepondera probabilidades minúsculas (teoria das perspectivas de Kahneman e Tversky, não uma conspiração). Esta calculadora é o verso do envelope que esses papers assumem que o comprador saltou.

Economia do rollover: cada noite sem vencedor transfere residual do fundo para o cartaz seguinte. A procura é convexa no headline — os mesmos autores, e papers posteriores sobre «lottomania» do Powerball, mostram que as vendas disparam quando o cartaz cruza centenas de milhões redondas. Esse surto aumenta os co-vencedores esperados, daí o campo Vencedores esperados. Um anúncio de 1,5 mil milhões em renda com três vencedores prováveis não é três vezes mais atractivo do que uma noite de 500 milhões com vencedor único; a quota cash pode ser semelhante depois da divisão, e pagou-se o crowding.

Sindicatos e pools de escritório por vezes perseguem jackpots cash teoricamente +EV. Mesmo aí a cobertura é incompleta, a liquidez é nula (não vende o talão) e um prémio é um lump tributável que o EV simples ignora. Na maior parte das semanas o cash fica bem abaixo de preço×odds. Na matriz 1-em-292 201 338 a 2 dólares, o cash tem de ultrapassar cerca de 584 milhões (um vencedor, antes de imposto, só jackpot) para o EV deixar de ser negativo. Os escalões baixos abatem talvez 0,30–0,50 dólares a esse limiar; o imposto federal-mais-estadual empurra-o outra vez para cima.

O SorteCalc isola o EV do jackpot de propósito. Misturar EV dos outros escalões, multiplicadores e seguros transforma a página num simulador pari-mutuel completo, que é outra ferramenta. Jornalistas que citam «o bilhete vale 0,34 dólares» estão a citar quota×p, não o EV; subtraia os 2 dólares. Jogadores que dizem «alguém tem de ganhar» confundem a existência de um vencedor na população com o retorno esperado dum bilhete concreto. Não são o mesmo número.

Use a calculadora antes de escalar um pool, não depois de comprar 10 000 linhas. Se o EV é −1,66 dólares, 10 000 bilhetes têm EV ≈ −16 580 dólares e uma hipótese de 10 000/292 201 338 ≈ 0,0034 por cento. É entretenimento com etiqueta de preço, não um investimento. Combine com a calculadora de múltiplos bilhetes para a camada de probabilidade e com a de divisão de prémio para os co-vencedores.

A esperança matemática é a lei dos grandes números aplicada a um único sorteio: o lucro médio por boletim converge para o pagamento ponderado pela probabilidade menos o preço. Charles Clotfelter e Philip Cook, em Selling Hope, documentaram que as lotarias estatais são desenhadas como produtos de esperança negativa com picos ocasionais de jackpot que no papel podem parecer menos feios. Esta página isola apenas o prémio máximo. Escalões inferiores, imposto e empacotamento em anuidade ficam fora de âmbito; pertencem às folhas vizinhas.

A ilustração por omissão é à escala Powerball. Jackpot cem milhões de dólares, hipóteses publicadas de um em 292.201.338, um boletim, preço dois dólares, um vencedor esperado. A probabilidade p é um sobre 292.201.338, cerca de 3,422 vezes dez elevado a menos nove. A quota do prémio é o jackpot dividido pelo número de vencedores, logo os cem milhões inteiros quando esse número é um. A linearidade dá então a esperança igual a boletins vezes (quota vezes p menos preço).

Faça a aritmética por omissão pela ordem. Quota vezes p é 100.000.000 / 292.201.338, cerca de 0,3422 dólares. Subtraia a aposta de dois dólares e o boletim vale cerca de menos 1,66 dólares. É negativo, como se anuncia. Dez boletins escalam a mesma perda para cerca de menos 16,58 dólares; não melhoram o preço. Dois vencedores esperados cortam a quota a metade, pelo que quota vezes p cai para cerca de 0,171 e a esperança fica cerca de menos 1,83 dólares num boletim.

O ponto de equilíbrio, só jackpot e antes de imposto, põe a esperança a zero e resolve o título: jackpot estrela igual a preço vezes hipóteses vezes vencedores. Os omissos dão 2 vezes 292.201.338 vezes 1, ou seja 584.402.676 dólares de jackpot equivalente a numerário antes de o boletim deixar de ser perda pura no prémio máximo. Anuidades anunciadas reais imprimem muitas vezes acima dessa linha enquanto a opção de numerário fica abaixo. Converta para numerário antes de chamar o boletim positivo. Imposto a uma taxa combinada tau substitui o jackpot por jackpot vezes (1 menos tau) e empurra o obstáculo para cima.

A hipótese de jackpot num maço de boletins é um menos (1 menos p) elevado ao número de boletins, o complementar da falha total. Para um boletim é simplesmente p. A fórmula trata o número de vencedores como um factor de partilha exógeno, não como uma variável aleatória de ocupação. Um modelo de Poisson de co-vencedores é outra lição. Os prémios de escalão inferior acrescentam um intercepto quase constante de algumas dezenas de cêntimos num boletim típico de dois dólares; deslocam o equilíbrio mas não reescrevem o declive contra o jackpot.

Hipóteses: prémio em numerário, não uma face a trinta anos; nenhuma partilha para além do campo de vencedores; nenhum multiplicador; nenhum roll-down. A teoria dos prospectos, não a combinatória, explica por que se compra um crédito de menos 1,66 dólares. Recalcule quando o título, a matriz 1 em N ou a partilha esperada mudam. A esperança não é uma promessa de perder 1,66 dólares esta noite; é a média duma distribuição que é quase sempre menos dois dólares e muito raramente mais uma fortuna.