Calculadora Odds da Lotaria

Abra a Calculadora de Odds da Lotaria e, se quiser o exemplo clássico 6/49 com segundo tambor, deixe os valores de fábrica: universo principal 49, extraídos 6, acertos 6, universo de bónus 10, bónus extraídos 1, acertos de bónus 1. Os seis campos são o modelo inteiro. O universo principal é o número de bolas no primeiro globo. Extraídos é quantas saem. Acertos é o escalão que está a precificar — jackpot quando coincide com extraídos, escalão inferior quando é menor. Os três campos de bónus descrevem um segundo globo independente, não uma bola extraída do mesmo conjunto de 49.

Calcule. A ferramenta devolve três resultados. Odds deste prémio é 1 em N para o par (acertos principais, acertos de bónus) que introduziu. Odds do jackpot é 1 em N para acertar todas as principais e todas as de bónus. A probabilidade percentual repete o prémio em formato de folha de cálculo. Com os valores por omissão, jackpot e este prémio coincidem: pediu 6 de 6 mais 1 de 1, logo ambos leem 1 em 139 838 160, porque C(49,6)×C(10,1) = 13 983 816×10. A probabilidade é cerca de 0,000000715 por cento.

Para um escalão intermédio, altere só Acertos principais. Ponha 3 e deixe o resto. A probabilidade hipergeométrica de exactamente três em seis num 49 é C(6,3)×C(43,3)/C(49,6) = 246 820 / 13 983 816, cerca de 1 em 56,66. Se o tambor de bónus continuar activo, o motor multiplica pela hipergeométrica do bónus; ponha o universo de bónus a 0 quando o jogo não tem segundo globo, para esse factor ficar 1.

Um 6/49 com Superzahl 0–9 usa universo de bónus 10. Um 6/49 sem bola extra zera os três campos de bónus e o jackpot cai para 1 em 13 983 816. Um matriz 6/90 (estilo SuperEnalotto, sem marcar a marca) é universo 90, extraídos 6, acertos 6, bónus 0: C(90,6) = 622 614 630. A calculadora ignora o logótipo no talão; só vê n, k, m e o segundo universo opcional.

Erros frequentes: meter acertos 6 quando ontem acertou 3; tratar uma bola bónus do mesmo globo como universo independente (não é — deixe o bónus a 0); ler 1:N como previsão em vez de identidade combinatória. Recalcule quando o operador muda a grelha. Os campos são inteiros; não existem fracções de bola.

Uma lotaria é um sorteio finito uniforme sem reposição. A tabela de prémios no folheto do regulador é uma identidade hipergeométrica com grafismo de marketing. Esta calculadora existe para reconstruir essa tabela para qualquer matriz — 6/49, 5/69+1/26, 5/50+2/12, 6/90 — sem memorizar a marca nacional. O SorteCalc tem páginas dedicadas a jogos com nome; esta ferramenta é o motor genérico por baixo.

O formato 6/49 é o padrão do século XX. O Lotto 6/49 canadiano nasceu em 1982; o 6aus49 alemão, a Primitiva espanhola, o Lotto polaco e dezenas de cópias partilham o denominador C(49,6) = 13 983 816. Somar um Superzahl 0–9 ou um bónus 1–10 multiplica o jackpot por dez e cria escalões extra (5+bónus, 4+bónus) com a mesma fórmula. Powerball e Mega Millions separaram o bónus noutro globo para inflacionar as odds do jackpot sem mexer tanto nas brancas.

As matrizes mudam. O Lotto britânico passou de 6/49 para 6/59. O Euromilhões já alterou o número de estrelas. O Powerball australiano redesenhou a grelha. Uma página de marca fica obsoleta; uma hipergeométrica parametrizada não. Jornalistas que comparam «qual é a lotaria mais difícil» misturam 1-em-N do jackpot com anos de espera (que dependem da frequência dos sorteios) e com a odds de qualquer prémio (dominada pelos 2 e 3 acertos). Esta ferramenta isola a camada combinatória.

Use-a para auditar os quadros oficiais. Se o operador anuncia 1 em 13 983 816 no 6/49, omitiu o segundo tambor ou não o tem. Se anuncia 1 em 139 838 160, incluiu um bónus 1-em-10. Se o número não é um quociente inteiro de coeficientes binomiais, está a arredondar, a juntar multiplicadores ou a descrever um raffle por cima da matriz.

É um instrumento educativo, não um oráculo. Assume bilhete = k-subconjunto não ordenado (mais bónus independente), uniforme, sem multiplicador, sem raffle, sem seguro de jackpot. Não modela rollovers do fundo, fugas pari-mutuel nem a hipótese de outro bilhete igual. Combine com as calculadoras de EV, de sistemas (wheeling) e de múltiplos bilhetes quando quiser dinheiro ou cobertura, não só um 1-em-N.

William Feller, nos capítulos combinatórios de An Introduction to Probability Theory and Its Applications, trata uma lotaria como amostragem sem reposição numa urna finita. Esse é o modelo correcto para um sorteio de bolas numeradas: cada k-subconjunto não ordenado dum conjunto de n é igualmente provável, e o boletim é ele próprio um desses subconjuntos. Um tambor de bónus independente é uma segunda urna. Como as máquinas não partilham bolas, as duas probabilidades multiplicam-se. A combinatória das lotarias é portanto aritmética hipergeométrica vestida de tabela de prémios, não uma sequência de lançamentos de moeda.

A matriz por omissão nesta página é um poço principal de quarenta e nove com seis bolas extraídas e um pedido de prémio de seis coincidências principais, juntamente com um poço de bónus de dez de onde se extrai uma bola e se exige uma coincidência de bónus. Acertar todos os números principais e todos os números de bónus é, por definição, o jackpot. Nesses valores o prémio que está a precificar é o jackpot, pelo que as duas leituras de 1 em N coincidem. Não há factor oculto para além do produto dos dois tambores.

A contagem hipergeométrica responde a uma pergunta precisa. Depois de o operador ter marcado k principais vencedores num poço de n, pede-se exactamente m acertos num boletim de k números. Os boletins favoráveis escolhem m dos k vencedores e preenchem os k menos m lugares restantes a partir dos n menos k perdedores. O denominador é o número de k-subconjuntos igualmente prováveis de n. Escrito com coeficientes binomiais, a probabilidade de coincidência principal é C(k, m) vezes C(n menos k, k menos m), tudo dividido por C(n, k), desde que esses binomiais existam; caso contrário a probabilidade é identicamente zero. Essa função de massa é toda a teoria do tambor principal.

O jackpot no tambor principal é o caso especial m igual a k, que reduz o numerador a um, pelo que a probabilidade é simplesmente um sobre C(n, k). Para seis em quarenta e nove o denominador é 13.983.816. O factor independente de jackpot no bónus é um sobre C(10, 1), ou seja um décimo. O produto é portanto um sobre 139.838.160. Equivalentemente pode escrever-se C(6, 6) C(43, 0) / C(49, 6) vezes C(1, 1) / C(10, 1); ambas as escritas são a mesma identidade. É assim que se calcula o prémio por omissão e o jackpot por omissão nesta página.

Os prémios intermédios mantêm a mesma identidade e baixam m abaixo de k. Exactamente três principais sem bónus é C(6, 3) C(43, 3) / C(49, 6) = 246.820 / 13.983.816, cerca de um em 56,66. Exactamente cinco principais é 258 / 13.983.816, cerca de um em 54.201. Uma bola de bónus retirada da mesma urna que as principais não é um segundo poço independente; ponha o poço de bónus a zero quando o jogo tem um só tambor. Combinações, não permutações: os boletins são conjuntos não ordenados, pelo que o denominador é C(n, k) e não o factorial descendente P(n, k).

As hipóteses são combinações uniformes, nenhum autocolante multiplicador, nenhum extra de rifa e nenhuma ordem de extracção. Uma figura 1 em N não é uma previsão para o próximo sábado nem um tempo de espera em semanas; os tempos de espera precisam dum calendário de sorteios. Recalcule sempre que o operador muda n ou k. Feller insistiria ainda que a ocupação entre muitos boletins é um problema separado da hipótese de um boletim dado acertar m bolas. Esta lição precifica um boletim contra um sorteio.