ICM Beregner

Standard: Your Stack 1000, Opponent 1 Stack 2500, Opponent 2 Stack 1500, Prize Pool 1000 $, første 50 %, anden 30 %, tredje 20 %. Tre spillere, 5000 chips i spil, 50/30/20-payout på tusind dollars. Motoren er Malmuth–Harville independent chip model for præcis tre stacks. Sandsynligheden for at blive nummer ét er ens stack over total: 1000 / 5000 = 20,00 %. Sandsynligheden for andenplads bruger fjernelse: hvis Modstander 1 vinder (2500/5000), tager man anden med 1000/2500; hvis Modstander 2 vinder (1500/5000), tager man anden med 1000/3500. Sum: 0,5 × 0,4 + 0,3 × (1000/3500) = 0,20 + 0,08571 = 28,57 %. Tredje er residualen, 51,43 %.

ICM-dollars er prize × (p1 × 0,50 + p2 × 0,30 + p3 × 0,20) = 1000 × (0,20 × 0,50 + 0,2857 × 0,30 + 0,5143 × 0,20) = 1000 × 0,28857 ≈ 288,57 $. Chip-EV, hvis præmien var winner-take-all, ville kun være 20 % af 1000 $ = 200 $. Det fladtrykte payout gør short stackens turneringsdollars større end chip-andelen, fordi tredjepladsen stadig betaler 20 %. Det er hele pointen med ICM: en chip er ikke en dollar, når mere end ét payout er tilbage.

Almindelige fejl: at behandle 288,57 $ som kontanter, man kan stikke i lommen nu; at sammenligne med 1000-chips pålydende, som om chips var penge; at bruge denne tre-spillers-model ved et ni-mandet final table. Harville med n > 3 kræver en rekursiv sum over hver placeringspermutation, som siden ikke kører. En anden fejl er at lade payout-procenter, der ikke summer til 100, stå; motoren reskalerer dem, men at skrive 50/50/50 matcher ikke en rigtig struktur, før arket rettes.

Hvad tallet er til: deal-making og boble-calls. Hvis en deal var et ICM-chop, er 288,57 $ ens fair andel af disse 1000 $ under modellen. Hvis et call risikerer ens 1000 for at vinde 1500 mere, skal man sammenligne ICM efter sejr versus ICM efter bust (nul, plus de præmier man ikke længere kæmper om), ikke chip-ratioen. Byt derefter stack med Modstander 1’s 2500 og se p(første) hoppe til 50 % og dollarværdien stige — ikke lineært. Sæt så første til 100 og anden/tredje til 0 for at genskabe chip-EV (200 $). 288,57 $ er en modelværdi, ikke et løfte om, hvordan man casher.

ICM omsætter en stack til en andel af den resterende præmiepulje, når payouts er skæve. Siden implementerer tre-spillers Malmuth–Harville independent chip model: chancen for at overleve en given modstander er proportional med stacks, og placeringer bygges ved successiv fjernelse. Satellit-grindere, final table-dealmakere og boble-specialister bruger den, fordi chip-EV-calls, der ser automatiske ud i cash, kan være ICM-selvmord, når tredjepladsen stadig betaler. Trænere bruger stigen 1000/2500/1500 til at vise, hvorfor short stacken ikke skal calle lige så bredt som chip leaderen.

Independent chip model blev beskrevet i turneringspoker af Mason Malmuth; den underliggende sekventielle allokering spor til Harvilles arbejde om ranking-sandsynligheder (og uafhængigt til anden sportsranking-litteratur). Den blev standard i MTT-deals i 00’erne, da PokerStars-æraens final tables skulle bruge et tal, der ikke var «chips gange førstepremie». Senere erstattede ICM-bevidste solvers (HRC, ICMIZER, Monker) kuvert-choppet med fuld push/fold-Nash, men de hviler stadig på Harville-sandsynligheder.

Den gør ikke fire-plus spillere, fremtidige blinds, skill-forskelle eller deal-sødning. Der er intet felt til «Modstander 1 er nit». ICM antager, at hver chip er lige sandsynlig til at vinde hver fremtidig pot — en påstand ingen tror på, og som alle bruger som baseline. Den beregner ikke, om et specifikt call er +EV; den værdiansætter kun stacks før hånden. Man skal stadig bruge et equity-tal og en model af de andre stacks efter hånden for at prissætte et shove.

Kun trehåndet. Payout-procenter reskaleres, hvis de ikke summer til 100, hvilket kan skjule en tastefejl. Prize Pool er pengene, der stadig skal fordeles blandt disse tre, ikke det oprindelige buy-in-overlay. Antes, pay-jumps allerede passeret og bounty-chips modelleres ikke. Risikopræmien — den ekstra equity en kortere stack skal bruge for at calle en chip leader — er en konsekvens af denne værdifunktion, ikke et ekstra output.

Beregneren siger ikke, at man skal deale eller folde. 288,57 $ er modellens dollarequity, ikke kontanter, ikke et varsel om placeringsrækkefølge, ikke finansiel rådgivning. Live-deals tilføjer ofte et «save» eller et last-longer-sidebet, som formlen ikke ser.

Uafhængighedshypotesen er lektionens advarsel og dens metode. Hver chip behandles som en uafhængig lotteriseddel til førstepladsen, derefter rekursivt til resten. Ingen skill, ingen position, ingen blinds. Tre-spillers nøjagtig Harville–Malmuth er skoleeksemplet. Stacks 1000, 2500 og 1500 summer til T = 5000. Prize 1000 udbetales 50 / 30 / 20. Sandsynlighed for førsteplads er chip-andelen: P1 = 1000 / 5000 = 20 procent. Andenplads bruger successiv fjernelse. Efter den sætning er P2 = (2500 / 5000) × (1000 / 2500) + (1500 / 5000) × (1000 / 3500) = 0.20 + 0.085714… ≈ 28.57 procent. Tredje er residualen: P3 ≈ 51.43 procent.

Dollarværdien under modellen er prisen gange den sandsynlighedsvægtede udbetalingsvektor. Efter den sætning er Value ≈ 1000 × (0.20 × 0.50 + 0.285714 × 0.30 + 0.514286 × 0.20) ≈ 288.57 dollars. Chip-forventning, som om de 1000 var winner-take-all, ville have været 20 procent af 1000, eller 200 dollars. De ekstra 88.57 dollars er forsikring: short stacken indkasserer stadig 20 procent af poolen med sandsynlighed cirka 51.43 procent for tredje, hvilket chip-EV ignorerer. En chip er ikke en dollar mens anden og tredje stadig betaler. Det gab er hele det pædagogiske punkt.

Andenpladsens derivation er Harvilles rankingformel, transplanteret af Mason Malmuth på pokers chips. Førsteplads tildeles proportionalt med chips. Betinget på at 2500-stacken tager første, er det resterende løb 1000 versus 1500, så short stacken tager anden med 1000 / 2500. Betinget på at 1500-stacken tager første, tages anden med 1000 / 3500. Den totale sandsynligheds lov adderer grenene. Konstruktionen er nøjagtig for tre spillere; fire eller flere kræver en sum over hver slutfølge-permutation.

Antagelserne vides at være falske og bruges alligevel som baseline. Udbetalinger kræves ved slut uden bounties. Empirisk kan modellen overvurdere mellemstacks i større felter; den debat er en advarsel om ikke at klistre 288.57 dollars på et ni-mandet finalbord. Faktiske slutfølge-rater afhænger af hvem der dækker hvem, hvem der har knappen, og hvem der kan vente. To lige stacks på 2500 med en 1000-shorty giver ikke samme risikopræmie som 1000 / 2500 / 1500 selv ved samme 50 / 30 / 20.

Deal-making og boble-calls er anvendelserne, ikke en prognose om slutfølge. Et ICM-chop af denne pool ville tildele cirka 288.57 dollars til 1000-stacken. Et call der risikerer de 1000 chips skal sammenligne modelværdi efter gevinst versus efter bust, ikke det rå chip-forhold. Sæt første til 100 procent og de andre til nul, og 200 dollars chip-EV vender tilbage. Husfordel er irrelevant; sandsynlighedsforbeholdet er uafhængighed. Behandl ikke 288.57 dollars som kontanter i lommen. Det er tre-spillers nøjagtig Harville–Malmuth independent chip model-værdi versus 200 dollars chip-EV.