Calculadora ICM

Por omissão: Your Stack 1000, Opponent 1 Stack 2500, Opponent 2 Stack 1500, Prize Pool 1000 $, primeiro 50 %, segundo 30 %, terceiro 20 %. Três jogadores, 5000 fichas em jogo, payout 50/30/20 sobre mil dólares. O motor é o modelo independente de fichas Malmuth–Harville para exactamente três stacks. A probabilidade de ficar em primeiro é o seu stack sobre o total: 1000 / 5000 = 20,00 %. A de segundo usa remoção: se o Adversário 1 ganha (2500/5000), fica segundo com 1000/2500; se o Adversário 2 ganha (1500/5000), fica segundo com 1000/3500. Soma: 0,5 × 0,4 + 0,3 × (1000/3500) = 0,20 + 0,08571 = 28,57 %. Terceiro é o residual, 51,43 %.

O valor ICM em dólares é prize × (p1 × 0,50 + p2 × 0,30 + p3 × 0,20) = 1000 × (0,20 × 0,50 + 0,2857 × 0,30 + 0,5143 × 0,20) = 1000 × 0,28857 ≈ 288,57 $. O chip-EV se o prémio fosse winner-take-all seria só 20 % de 1000 $ = 200 $. O payout achatado torna os dólares de torneio do short stack maiores do que a sua quota de fichas, porque o terceiro lugar ainda paga 20 %. Esse é o ponto do ICM: uma ficha não é um dólar quando resta mais do que um payout.

Erros comuns: tratar 288,57 $ como cash que pode meter no bolso agora; compará-lo com as 1000 fichas de face como se fichas fossem dinheiro; usar este modelo de três jogadores numa mesa final de nove. Harville com n > 3 precisa de uma soma recursiva sobre cada permutação de chegada, que esta página não corre. Outro erro é deixar percentagens de payout que não somam 100; o motor reescala-as, mas escrever 50/50/50 não coincide com uma estrutura real até corrigir a folha.

Para que serve o número: acordos e calls na bolha. Se um acordo fosse um chop ICM, 288,57 $ é a sua quota justa destes 1000 $ sob o modelo. Se um call arrisca as suas 1000 para ganhar mais 1500, tem de comparar o ICM depois de ganhar versus o ICM depois de rebentar (zero, mais os prémios que já não disputa), não o rácio de fichas. A seguir, troque o seu stack com as 2500 do Adversário 1 e veja p(primeiro) saltar para 50 % e o valor em dólares subir. Depois ponha primeiro a 100 e segundo/terceiro a 0 para recuperar o chip-EV (200 $). 288,57 $ é um valor de modelo, não uma promessa.

O ICM converte um stack numa quota do prize pool restante quando os payouts são enviesados. Esta página implementa o modelo independente de fichas Malmuth–Harville a três jogadores: a probabilidade de sobreviver a um dado adversário é proporcional aos stacks, e as posições constroem-se por remoção sucessiva. Grinders de satélite, negociadores de mesa final e especialistas de bolha usam-no porque calls de chip-EV que parecem automáticos em cash podem ser suicídio ICM quando o terceiro ainda paga. Treinadores usam a escada 1000/2500/1500 para mostrar por que o short stack não deve pagar tão largo como o chip leader.

O modelo independente de fichas foi descrito no póquer de torneio por Mason Malmuth; a ideia de alocação sequencial remonta ao trabalho de Harville sobre probabilidades de ranking (e, de forma independente, a outra literatura de rankings desportivos). Tornou-se padrão nos acordos MTT nos anos 2000, quando as mesas finais da era PokerStars precisavam de um número que não fosse «fichas vezes o primeiro prémio». Mais tarde, solvers conscientes de ICM (HRC, ICMIZER, Monker) substituíram o chop de envelope por Nash de push/fold, mas continuam a assentar nas probabilidades de Harville.

Não faz quatro ou mais jogadores, blinds futuras, diferenças de skill nem adoçar o acordo. Não há campo para «o Adversário 1 é nit». O ICM assume que cada ficha tem a mesma probabilidade de ganhar cada pote futuro — afirmação em que ninguém acredita e que toda a gente usa como baseline. Não calcula se um call concreto é +EV; só valoriza stacks antes da mão. Continua a precisar de um número de equidade e de um modelo dos outros stacks depois da mão para precificar um shove.

Só três-handed. As percentagens de payout são reescaladas se não somarem 100, o que pode esconder um erro de digitação. Prize Pool é o dinheiro ainda a distribuir entre estes três, não o overlay original do buy-in. Antes, saltos de prize já passados e fichas de bounty não são modelados. O prémio de risco — a equidade extra de que um stack mais curto precisa para pagar um chip leader — é consequência desta função de valor, não um output extra.

A calculadora não diz para acordar nem para desistir. 288,57 $ é a equidade em dólares do modelo, não cash, não previsão da ordem de chegada, não conselho financeiro. Acordos ao vivo acrescentam muitas vezes um «save» ou uma last-longer que esta fórmula não vê.

Stacks 1000, 2500 e 1500, prize 1000, payout 50 / 30 / 20: o caso exacto a três jogadores do modelo independente de fichas Harville–Malmuth. Total T = 5000. A probabilidade de ficar primeiro é a quota de fichas: P1 = 1000 / 5000 = 20 por cento. O segundo lugar usa remoção sucessiva. Depois desta frase, P2 = (2500 / 5000) × (1000 / 2500) + (1500 / 5000) × (1000 / 3500) = 0.20 + 0.085714… ≈ 28.57 por cento. O terceiro é o residual: P3 ≈ 51.43 por cento. Cada ficha trata-se como um bilhete de lotaria independente para o primeiro, depois recursivamente para o resto.

O valor em dólares sob o modelo é o prize vezes o vector de payout ponderado pelas probabilidades. Depois desta frase, Value ≈ 1000 × (0.20 × 0.50 + 0.285714 × 0.30 + 0.514286 × 0.20) ≈ 288.57 dólares. O chip-EV, como se os 1000 fossem winner-take-all, teria sido 20 por cento de 1000, ou 200 dólares. Os 88.57 dólares extra são o seguro: o short stack ainda cobra 20 por cento do pool com probabilidade cerca de 51.43 por cento no terceiro, o que o chip-EV ignora. Uma ficha não é um dólar enquanto segundo e terceiro ainda pagam. Esse fosso é o ponto pedagógico inteiro do modelo.

A derivação do segundo lugar é a fórmula de ranking de Harville, transplantada por Mason Malmuth para fichas de póquer. O primeiro atribui-se proporcionalmente às fichas, a hipótese de independência. Condicionando a o stack de 2500 ficar primeiro, a corrida restante é 1000 contra 1500, logo o short stack fica segundo com 1000 / 2500. Condicionando a o stack de 1500 ficar primeiro, o segundo obtém-se com 1000 / 3500. A lei da probabilidade total soma os ramos. A construção é exacta a três jogadores; quatro ou mais exige uma soma sobre cada permutação de chegada.

Os pressupostos sabem-se falsos e usam-se na mesma como baseline. Sem skill, sem posição, sem blinds, fichas independentes, só três jogadores, payouts reclamados no fim sem bounties. Empiricamente o modelo pode sobrevalorizar stacks médios em campos maiores; esse debate é um aviso para não colar 288.57 dólares a uma mesa final de nove. As taxas reais de chegada dependem de quem cobre quem, de quem tem o botão e de quem pode esperar. Dois stacks iguais de 2500 com um shorty de 1000 não produzem o mesmo prémio de risco que 1000 / 2500 / 1500 mesmo com o mesmo 50 / 30 / 20.

Acordos e calls na bolha são as aplicações, não uma previsão da ordem de chegada. Um chop ICM deste pool atribuiria cerca de 288.57 dólares ao stack de 1000. Um call que arrisque essas 1000 fichas tem de comparar o valor do modelo depois de ganhar versus depois de rebentar, não o rácio cru de fichas. Pôr o primeiro a 100 por cento e os outros a zero recupera os 200 dólares de chip-EV. A vantagem da casa é irrelevante; o caveat de probabilidade é a independência. Não tratar 288.57 dólares como dinheiro no bolso. É valor exacto a três jogadores Harville–Malmuth versus 200 dólares de chip-EV.