Calculadora Lotofácil

A Lotofácil é o jogo 15 em 25 da Caixa: marca quinze números, a Caixa sorteia quinze, e o jackpot é acertar os quinze. Omissões: Bilhetes 1, Preço 2,50, Jackpot 1 500 000, Correspondências principais 15. Não há campo Correspondências bónus. Calcule: odds de jackpot 1 em 3 268 760, que é 1/C(25,15). É incomparavelmente mais suave que os 50 milhões da Mega-Sena. O VE do jackpot a R$1,5 milhão é cerca de −R$2,04 (retorno esperado ≈R$0,46 contra uma aposta de R$2,50). Não confunda “jackpot mais fácil” com “VE positivo”.

A Lotofácil está desenhada para acertar muitos números. Ponha Correspondências principais em 11: as odds deste prémio andam por 1 em 11,4 para exactamente onze dos quinze sorteados. Doze cerca de 1 em 60; treze cerca de 1 em 692; catorze cerca de 1 em 21 792; quinze é o jackpot de 3,27 milhões. A Caixa paga em regra a partir de 11 acertos. A probabilidade de pelo menos 11 num cartão de 15 é cerca de 10,6%, grosso modo 1 em 9,4. Essa taxa alta é o produto, não um defeito.

Bilhetes conta jogos independentes de 15 números. No produto real pode marcar 16 a 20 números, que a Caixa expande em C(k,15) jogos simples: 16 números → 16 jogos (R$40), 17 → 136 (R$340), 18 → 816 (R$2040), 19 → 3876 (R$9690), 20 → 15 504 (R$38 760) a R$2,50 cada. Se comprou um volante de 16, escreva Bilhetes=16 a Preço=2,50, não Bilhetes=1 a 40, salvo se quiser o VE do maço. Esses 16 jogos não são 15-conjuntos aleatórios independentes: são todos os 15-subconjuntos dos seus 16, portanto correlacionados nos escalões 11–14. No jackpot de 15 acertos os indicadores são disjuntos, logo Bilhetes=16 é exacto para a chance de 15.

O Jackpot é o rateio de 15 acertos em reais. Cole a estimativa do concurso. O preço é R$2,50 por quinze simples. Correspondências principais deve ficar em 11–15 se lhe importam as faixas pagas; pôr 8 ainda calcula uma célula hipergeométrica que a Caixa não paga como jackpot.

Isto não é Mega-Sena nem Quina. Quinze números sorteados em vinte e cinco é uma grelha densa. Use Bilhetes para quantos 15-conjuntos realmente tem, incluindo apostas 16–20 convertidas em C(k,15), e leia a Chance como 1−(1−p)^n sob independência — exacta no jackpot de um sistema, aproximada nas faixas baixas.

A Lotofácil estreou a 29 de Setembro de 2003 como a “lotaria fácil” da Caixa: uma grelha 5×5 de 25 dezenas, quinze marcadas pelo jogador, quinze sorteadas. O marketing foi honesto sobre a frequência. Acertar onze é um evento quotidiano numa amostra longa; acertar quinze continua a ser milhões contra um, mas milhões contra um num espaço de 3,27 milhões, não nos 50 milhões da Mega-Sena. Os brasileiros tratam-na como o volante do fim do expediente na casa lotérica, mais barato por esperança do que a sena de R$5 e mais ruidoso com prémios pequenos.

A opção de marcar 16, 17, 18, 19 ou 20 números é a outra metade do produto. Cada dezena extra explode o número de 15-subconjuntos, por isso uma aposta de 20 custa dezenas de milhares de reais. Mesmo assim compra-se, sobretudo em bolão, porque cobrir mais 15-conjuntos sobe a chance de 15 acertos e das faixas 11–14 ao mesmo tempo. Este calculador não expande a grelha por si; multiplica bilhetes. Um sistema correlacionado é outro objecto de probabilidade nas faixas baixas.

Não há bola suplementar. As faixas são 15, 14, 13, 12, 11 acertos (as regras foram afinadas ao longo dos anos; a combinatória 15/25 não muda). Teimosinha e surpresinha existem como nos outros jogos da Caixa. Os sorteios são mais frequentes do que o ritmo bi-semanal da Mega-Sena; confirme o calendário actual da Caixa em vez de assumir quarta e sábado.

Culturalmente a Lotofácil está no mesmo balcão que a Mega-Sena e a Quina, o que produz más comparações. “Sempre acerto 11 na Lotofácil, logo a Mega-Sena está a dever” é um erro de categoria: P(≥11)≈0,106 num cartão 15/25 é desenho, enquanto P(sena)=1/50 063 860 é outro desporto. Esta página existe para manter esses denominadores visíveis.

Use-a para precificar um jackpot de 15 acertos, para ver por que 11 acertos são baratos, e para converter um volante de 16–20 números em C(k,15) bilhetes antes de falar de odds. Não a use como tabela oficial de rateio da Caixa nem como afirmação de que um padrão de grelha está quente.

O prémio de quinze acertos da Lotofácil calcula-se numa geometria invertida que não pode ser confundida com uma lotaria seis-em-quarenta-e-nove. O jogador e o barril escolhem ambos quinze-subconjuntos de um conjunto de vinte e cinco. O número de cartões possíveis é C(25,15), e a simetria C(25,15) = C(25,10) permite expandir o factorial mais pequeno: 25 × 24 × 23 × 22 × 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 / 3 628 800 = 3 268 760. A probabilidade de jackpot é portanto 1 / 3 268 760, cerca de 3,06 × 10^−7, ou um em 3 268 760. Marca-se muitos números; o sorteio também é quinze. É por isso que as taxas de acerto vivem noutro universo face ao um em cinquenta milhões da Mega-Sena. A Caixa lançou esta grelha 5×5 a 29 de Setembro de 2003 como a prima de prémios frequentes no mesmo balcão da lotérica.

A sobreposição hipergeométrica é simétrica: quinze números vencedores numa urna de vinte e cinco, quinze extrações para o bilhete, logo P(|bilhete ∩ sorteio| = m) = C(15,m) × C(10, 15−m) / 3 268 760, e m não pode cair abaixo de cinco porque 15 − m não pode exceder os dez números não vencedores. Acertar os quinze é o singleton 1 / 3 268 760. Acertar catorze é 15 × 10 / 3 268 760 = 150 / 3 268 760, cerca de um em 21 792. Acertar treze é 105 × 45 / 3 268 760 = 4 725 / 3 268 760, cerca de um em 692. Acertar doze é 455 × 120 / 3 268 760 = 54 600 / 3 268 760, cerca de um em 60. Acertar onze é 1 365 × 210 / 3 268 760 = 286 650 / 3 268 760, cerca de um em 11,4. Somando a cauda paga m = 11 até 15 obtém-se cerca de 346 126 / 3 268 760 ≈ 0,106, grosso modo um em 9,4. Entre todos os jogos deste conjunto de lições, são as taxas de acerto ordinárias mais altas: o produto está desenhado para que onze acertos sejam um acontecimento quotidiano numa amostra longa.

Cartões sistema que marcam k > 15 números cobrem C(k,15) quinze-conjuntos distintos dentro do k-conjunto. O acontecimento de quinze acertos ocorre se o quinze-conjunto extraído cabe no k marcado, logo a probabilidade é C(k,15) / 3 268 760. Dezasseis números marcados cobrem dezasseis jogos e chance de jackpot 16 / 3 268 760 exactamente, porque esses dezasseis indicadores de jackpot são disjuntos dois a dois. Dezassete números cobrem 136 jogos; vinte números cobrem 15 504 jogos a custo brutal. A correlação aparece nas bandas de onze a catorze, não no indicador de quinze acertos.

O valor esperado na aposta simples predefinida de 2,50 R$ e um poço de quinze acertos de 1,5 milhões de dólares é 1 500 000 / 3 268 760 − 2,50 ≈ 0,459 − 2,50 = −2,041 $ por cartão simples. O equilíbrio só de jackpot com um vencedor é 2,50 × 3 268 760 = 8 171 900 $. Cartões simples independentes continuam a dar a chance de pelo menos uma vez 1 − (1 − p)^n. O dinheiro dos escalões 11–14 levantaria o valor esperado do jogo completo; esta lição de jackpot omite-o de propósito para o denominador de 3,27 milhões permanecer visível.

As hipóteses: quinze-subconjuntos uniformes de vinte e cinco, um vencedor de quinze acertos, preço simples de 2,50 R$, nenhuma Mega-Sena 6/60 e nenhuma Quina 5/80 reutilizadas aqui, e cartões sistema convertidos por expansão binomial em vez de tratados como um bilhete mágico. Acertar onze na Lotofácil não é prova de que a Mega-Sena «já devia ter saído». Binómios diferentes, desportos diferentes.