Calculadora Múltiplos Bilhetes

Valores por omissão: odds 1 em 13 983 816 (jackpot clássico 6/49, sem segundo tambor), 10 bilhetes, 5 sorteios. Está a comprar dez linhas por noite durante uma semana de cinco sorteios, ou dez linhas em cinco extrações independentes — a matemática é a mesma se cada extração for independente e não transportar combinações entre jogos correlacionados. Introduza as odds 1-em-N do jackpot (ou de qualquer escalão único), quantas linhas por extração, e quantas extrações.

Calcule. Entradas totais = bilhetes × sorteios = 50. Pelo menos um jackpot = 1 − (1 − p)^50 com p = 1/13 983 816 ≈ 3,5756×10^−6, cerca de 0,0003576 por cento, ou 1 em 279 677. Probabilidade de falhar = 1 menos isso, 99,999642 por cento. A hipótese destacada parece um erro de arredondamento ao lado de 100 por cento porque o é.

Escale. 100 bilhetes × 52 sorteios semanais = 5 200 entradas: 1 − (1−p)^5200 ≈ 5 200/13 983 816 ≈ 0,0372 por cento, cerca de 1 em 2 689. Uma vida de 10 000 bilhetes: cerca de 0,0715 por cento, 1 em 1 398. Para empurrar a hipótese de pelo menos um jackpot para perto de 1 por cento no 6/49 precisa da ordem de 0,01 × 13 983 816 ≈ 140 000 entradas independentes. A 2 dólares isso são 280 000 dólares de aposta por um tiro de 1 por cento no primeiro prémio, ignorando divisões e imposto.

A fórmula estilo aniversário assume ensaios independentes — cada bilhete é um Bernoulli(p) contra um sorteio fresco, ou linhas distintas num sorteio aproximadas como independentes quando bilhetes ≪ C(n,k). Se comprar todas as combinações, p_sessão = 1 e a fórmula é a ferramenta errada (use um argumento de cobertura). Se os dez talões incluem duplicados, tem menos de dez ensaios.

Não confunda isto com valor esperado. Cinquenta bilhetes a EV negativo são cinquenta vezes a perda, não uma forma inteligente de «chegar mais perto». A calculadora de múltiplos bilhetes responde a uma pergunta de probabilidade: com que frequência ocorre pelo menos um jackpot num molho de entradas independentes. Não soma acertos de escalão baixo, que acontecem muito mais vezes (3 acertos no 6/49 é cerca de 1 em 57 por talão). Se quiser esses, precifique-os com a calculadora de odds e um binomial, não nesta página.

As pessoas são péssimas a compor probabilidades pequenas. Dez bilhetes parece dez vezes mais sorte; cinco sorteios parece uma campanha. O produto bilhetes × sorteios é a exposição certa, e 1−(1−p)^n é a probabilidade certa de pelo menos uma vez, e o resultado continua minúsculo para um p de jackpot. A «lei dos números verdadeiramente grandes» de Diaconis e Mosteller (1989) vai no outro sentido: numa população suficientemente grande, eventos raros acontecem a alguém. Ambas as afirmações são verdadeiras e não se contradizem. Alguém acerta o 6/49; quase nunca é você.

É a mesma matemática do problema do aniversário, excepto que o problema do aniversário tem uma probabilidade de colisão surpreendentemente alta porque se comparam todos os pares. Aqui não procura uma colisão entre talões; procura um acerto contra um sorteio fixo com probabilidade de sucesso p ≈ 7,15×10^−8. A aproximação linear n p é excelente até n ser uma fracção não trivial de 1/p. Para n = 50, n p ≈ 3,576×10^−6, e o exacto 1−(1−p)^n só difere ao nível n(n−1)p^2/2 ≈ 10^−12.

O marketing de sindicatos cita muitas vezes «temos 10 000 talões, logo as nossas odds são 10 000 vezes melhores». Odds relativas, sim: 10 000/13 983 816 versus 1/13 983 816. A probabilidade absoluta permanece 0,0715 por cento por sorteio para um jackpot 6/49. Um sindicato pode ainda assim ser uma forma racional de comprar um sistema ou de perseguir um rollover teoricamente +EV; não é uma forma de tornar comum um evento 1 em 14 milhões. Pools de escritório que compram 20 talões e falam como se «tivessem uma hipótese a sério esta semana» usam uma linguagem que a fórmula não sustenta.

Sorteios independentes: cinco extrações consecutivas de 6/49 são independentes se as máquinas e as bolas forem justas. Comprar as mesmas dez combinações todas as noites não cria dependência negativa que o ajude; também não prejudica a probabilidade de jackpot relativamente a dez combinações aleatórias novas, para um sorteio justo. O que as combinações repetidas mudam é a correlação dos escalões baixos e o tédio do talão.

Os valores por omissão do SorteCalc (10 bilhetes, 5 sorteios, 6/49) são um molho recreativo realista, não uma recomendação. Corra o hábito real: dois talões duas vezes por semana durante um ano são 208 entradas, ainda 1 − (1−p)^208 ≈ 1 em 67 230. Se esse número parecer mais frio do que o hábito, a calculadora fez o trabalho. Combine com o EV do jackpot para precificar o molho em dinheiro: 50 × (−1,66 dólares) é o EV errado para um 6/49 a jackpot desconhecido, mas o método é o mesmo — primeiro a probabilidade, depois o dinheiro.

As pessoas são péssimas a compor probabilidades minúsculas. Dez boletins parecem dez vezes mais sortudos; cinco sorteios parecem uma campanha. A exposição correcta é o produto de boletins e sorteios, e a probabilidade correcta de pelo menos uma vez é um menos (1 menos p) elevado a esse produto, o complementar duma falha total. A lei dos números verdadeiramente grandes de Persi Diaconis e Frederick Mosteller é a outra direcção: numa população suficientemente grande, eventos raros acontecem a alguém. Ambas as afirmações são verdadeiras. Alguém acerta seis-em-quarenta-e-nove; quase nunca é você.

As hipóteses por omissão são um em 13.983.816, o jackpot clássico de seis-em-quarenta-e-nove sem tambor de bónus, dez boletins, cinco sorteios. O total de entradas n iguala 50. O p de um ensaio iguala 1 / 13.983.816, cerca de 7,151 vezes dez elevado a menos oito. A probabilidade de pelo menos uma vez é 1 menos (1 menos p) elevado a 50, cerca de 3,576 vezes dez elevado a menos seis, ou 0,0003576 por cento, grosso modo um em 279.677. A probabilidade de falha é o complementar, 99,999642 por cento. A hipótese destacada parece um erro de arredondamento ao lado de 100 por cento porque o é.

A aproximação linear é excelente enquanto n p for muito menor do que um. Aqui n p iguala 50 / 13.983.816, os mesmos 3,576 vezes dez elevado a menos seis, e 1 menos exp(menos n p) concorda com n p a um erro absoluto perto de 10 elevado a menos 12. Reportar 1 em 279.677 a partir do complementar exacto ou a partir de 13.983.816 / 50 é o mesmo título. A intuição da colisão de aniversários não se aplica: está a coincidir com uma combinação pré-especificada, não com outros boletins. Colisões aos pares entre boletins são um problema de jackpot partilhado, não um problema de pelo menos uma vitória.

A independência falha de formas nomeadas. Boletins duplicados num sorteio são um ensaio, não dois. A cobertura exaustiva de todas as combinações num sorteio dá probabilidade um se realmente detiver a matriz. Uma bola de bónus já dobrada em N não deve ser multiplicada outra vez; se quisesse seis-em-quarenta-e-nove mais um-em-dez, o 1 em N é 139.838.160, não 13.983.816. Linhas distintas num sorteio são ligeiramente negativamente dependentes, amostragem sem reposição no conjunto das combinações. Para n muito menor do que 13.983.816 a correcção é desprezável: a hipótese exacta de pelo menos um jackpot com 50 linhas distintas num sorteio é exactamente 50 / 13.983.816.

A inversão do complementar é a identidade de planeamento. Para uma probabilidade-alvo de pelo menos uma vez P, n é cerca de menos ln(1 menos P) / p. Meia hipótese em seis-em-quarenta-e-nove precisa de cerca de 0,693 / p, perto de 9,69 milhões de boletins — meia matriz. Um tiro de 1 por cento precisa da ordem de 140.000 entradas independentes; a dois dólares isso são 280.000 dólares de aposta antes de partilhas e imposto. Cinquenta entradas recreativas não vivem nessa escala.

Hipóteses: ensaios de Bernoulli independentes a p, ou linhas distintas com n muito menor do que a matriz. Esta página não acrescenta a consolação de três acertos, que é cerca de um em 57 por boletim de seis-em-quarenta-e-nove e é outro binomial. A esperança de cinquenta boletins de esperança negativa é cinquenta vezes a perda, não uma forma esperta de chegar mais perto. Recalcule com o seu 1 em N real, o número de boletins e o número de sorteios. O complementar permanece minúsculo para p de jackpot.