Lotteri Multi-Kupon Beregner

Standard: odds 1 til 13.983.816 (klassisk 6/49-jackpot, ingen bonustromle), kuponer 10, trækninger 5. Du køber ti rækker en aften i en uge med fem trækninger, eller ti rækker til fem uafhængige lodtrækninger — matematikken er den samme, hvis hver lodtrækning er uafhængig, og du ikke bærer kombinationer på tværs af korrelerede spil. Indtast 1-til-N jackpot- (eller et hvilket som helst enkelt-trin) odds, hvor mange rækker pr. lodtrækning, og hvor mange lodtrækninger.

Beregn. Samlede indgange = kuponer × trækninger = 50. Mindst én jackpot = 1 − (1 − p)^50 med p = 1/13.983.816 ≈ 3,5756×10^−6, omkring 0,0003576 procent, eller 1 til 279.677. Miss-sandsynlighed = 1 minus det, 99,999642 procent. Den fremhævede chance ser ud som en afrundingsfejl ved siden af 100 procent, fordi den er det.

Skalér det. 100 kuponer × 52 ugentlige trækninger = 5.200 indgange: 1 − (1−p)^5200 ≈ 5.200/13.983.816 ≈ 0,0372 procent, omkring 1 til 2.689. Et liv på 10.000 kuponer: omkring 0,0715 procent, 1 til 1.398. For at skubbe mindst-én-gang jackpot-chancen nær 1 procent på 6/49 skal du bruge i størrelsesordenen 0,01 × 13.983.816 ≈ 140.000 uafhængige indgange. Til 2 dollar er det 280.000 dollar indsats for et 1 procents skud på toppræmien, idet splits og skat ignoreres.

Fødselsdags-agtig formel antager uafhængige forsøg med udskiftning af held — hver kupon er en Bernoulli(p) mod en frisk trækning, eller distinkte rækker på én trækning approksimeret som uafhængige, når kuponer ≪ C(n,k). Hvis du køber hver kombination, er p_session = 1, og formlen er det forkerte værktøj (brug et covering-argument). Hvis dine ti kuponer inkluderer dubletter, har du færre end ti forsøg.

Forveksl ikke dette med forventet værdi. Halvtreds kuponer ved negativ EV er halvtreds gange tabet, ikke en klog måde at «komme tættere på». Multi-kupon-beregneren besvarer et sandsynlighedsspørgsmål: hvor ofte indtræffer mindst én jackpot i et bundt uafhængige indgange. Den lægger ikke lavere-trin-hits til, som indtræffer langt oftere (træf 3 på 6/49 er omkring 1 til 57 pr. kupon). Hvis du vil have dem, prissæt dem med odds-beregneren og en binomial, ikke denne side.

Folk er elendige til at sammensætte små sandsynligheder. Ti kuponer føles ti gange heldigere; fem trækninger føles som en kampagne. Produktet kuponer × trækninger er den rigtige eksponering, og 1−(1−p)^n er den rigtige mindst-én-gang-sandsynlighed, og resultatet er stadig mikroskopisk for jackpot-p. Diaconis og Mostellers «lov om virkelig store tal» (1989) er den anden retning: i en stor nok population sker sjældne hændelser for nogen. Begge udsagn er sande, og de modsiger ikke hinanden. Nogen rammer 6/49; det er næsten aldrig dig.

Dette er den samme matematik som fødselsdagsproblemet, undtagen at fødselsdagsproblemet har en overraskende høj kollisionssandsynlighed, fordi du sammenligner hvert par. Her leder du ikke efter en kollision blandt kuponer; du leder efter et hit mod en fast trækning med succes-sandsynlighed p ≈ 7,15×10^−8. Lineær approksimation n p er fremragende, indtil n er en ikke-triviel brøkdel af 1/p. For n = 50 er n p ≈ 3,576×10^−6, og den eksakte 1−(1−p)^n afviger kun på n(n−1)p^2/2 ≈ 10^−12-niveauet.

Syndikat-marketing citerer ofte «vi holder 10.000 kuponer, så vores odds er 10.000 gange bedre». Relative odds ja: 10.000/13.983.816 versus 1/13.983.816. Absolut sandsynlighed forbliver 0,0715 procent pr. trækning for en 6/49-jackpot. Et syndikat kan stadig være en rationel måde at købe et hjul eller jage en teoretisk +EV rollover; det er ikke en måde at gøre en 1-til-14-millioner-hændelse almindelig. Kontorpuljer, der køber 20 kuponer og taler, som om de «har en reel chance i denne uge», bruger et sprog, formlen ikke understøtter.

Uafhængige trækninger: fem fortløbende 6/49-lodtrækninger er uafhængige, hvis maskinerne og kuglerne er fair. At købe de samme ti kombinationer hver aften skaber ikke negativ afhængighed, der hjælper dig; det skader heller ikke jackpot-sandsynlighed i forhold til ti friske tilfældige kombinationer, for en fair trækning. Det, gentagne kombinationer ændrer, er korrelationen af lavere-trin-udfald og kedsomheden ved kuponen.

SorteCalcs standarder (10 kuponer, 5 trækninger, 6/49) er et realistisk rekreativt bundt, ikke en anbefaling. Kør din faktiske vane: to kuponer to gange om ugen i et år er 208 indgange, stadig 1 − (1−p)^208 ≈ 1 til 67.230. Hvis det tal føles koldere end vanen, har beregneren gjort sit job. Par med jackpot EV for at prissætte bundtet i dollar: 50 × (−1,66 dollar) er den forkerte EV for 6/49 ved ukendt jackpot, men metoden er den samme — sandsynlighed først, så penge.

Folk er elendige til at sammensætte mikroskopiske sandsynligheder. Ti kuponer føles ti gange heldigere; fem træk føles som en kampagne. Den rigtige eksponering er produktet af kuponer og træk, og den rigtige mindst-én-gang-sandsynlighed er én minus (1 minus p) opløftet i det produkt, komplementet til et totalt miss. Persi Diaconis og Frederick Mostellers lov om virkelig store tal er den anden retning: i en tilstrækkelig stor befolkning sker sjældne hændelser for nogen. Begge udsagn er sande. Nogen rammer seks-ud-af-niogfyrre; det er næsten aldrig Dem.

Standard-oddsene er én ud af 13.983.816, den klassiske seks-ud-af-niogfyrre-hovedgevinst uden bonustromle, ti kuponer, fem træk. Samlede indgange n lig 50. Enkeltforsøgs-p lig 1 / 13.983.816, omkring 7,151 gange ti i minus otte. Mindst-én-gang-sandsynligheden er 1 minus (1 minus p) i 50, omkring 3,576 gange ti i minus seks, eller 0,0003576 procent, groft én ud af 279.677. Miss-sandsynlighed er komplementet, 99,999642 procent. Den fremhævede chance ligner en afrundingsfejl ved siden af 100 procent, fordi den er det.

Lineær tilnærmelse er fremragende, mens n p er meget mindre end én. Her er n p lig 50 / 13.983.816, de samme 3,576 gange ti i minus seks, og 1 minus exp(minus n p) stemmer med n p til en absolut fejl nær 10 i minus 12. At rapportere 1 ud af 279.677 fra det nøjagtige komplement eller fra 13.983.816 / 50 er samme overskrift. Fødselsdagskollisions-intuition gælder ikke: De matcher en forudspecificeret kombination, ikke andre kuponer. Parvise kollisioner blandt kuponer er et delt-jackpot-problem, ikke et mindst-én-sejr-problem.

Uafhængighed svigter på navngivne måder. Dubletkuponer på ét træk er ét forsøg, ikke to. Udtømmende dækning af hver kombination på ét træk giver sandsynlighed én, hvis De virkelig holder matricen. En bonuskugle allerede foldet ind i N må ikke ganges igen; hvis De ville have seks-ud-af-niogfyrre plus én-ud-af-ti, er 1-ud-af-N 139.838.160, ikke 13.983.816. Forskellige linjer på ét træk er let negativt afhængige, stikprøve uden tilbagelægning fra kombinationsmængden. For n meget mindre end 13.983.816 er korrektionen negligerbar: den nøjagtige chance for mindst én jackpot med 50 forskellige linjer på ét træk er præcis 50 / 13.983.816.

Inversion af komplementet er planlægningsidentiteten. For en mål-mindst-én-gang-sandsynlighed P er n omkring minus ln(1 minus P) / p. Halv chance på seks-ud-af-niogfyrre kræver omkring 0,693 / p, nær 9,69 millioner kuponer — en halv matrice. Et 1 procents skud kræver i størrelsesordenen 140.000 uafhængige indgange; til to dollar er det 280.000 dollar i indsats før splits og skat. Halvtreds rekreative indgange lever ikke på den skala.

Antagelser: uafhængige Bernoulli-forsøg ved p, eller forskellige linjer med n meget mindre end matricen. Denne side lægger ikke tre-match-trøst til, som er omkring én ud af 57 per seks-ud-af-niogfyrre-kupon og er et andet binomial. Forventet værdi af halvtreds negative-forventnings-kuponer er halvtreds gange tabet, ikke en klog måde at komme tættere på. Beregn igen med Deres virkelige 1-ud-af-N, kuponantal og trækantal. Komplementet forbliver mikroskopisk for jackpot-p.