Bankroll Sikkerhed Analysator

Bankroll-sikkerheds-analysatoren beregner even-money gambler’s-ruin-risiko fra tre inputs: Bankroll (standard 1000 $), Enhedsstørrelse (standard 10 $) og Vindersandsynlighed (standard 52 %). Bankroll-enheder = floor(bankroll / enhed) = floor(1000/10) = 100. Ruinrisiko er 100 %, hvis p ≤ 0,5, ellers (q/p)^enheder × 100 % med q = 1 − p. På standarden er p = 0,52, q = 0,48, ruin = (0,48/0,52)^100 × 100 % ≈ 0,0334 %. Du har hundrede 10 $-liv mod en 52 % even-money-mønt, og sandsynligheden for at gå i nul før uendelig er 0,0334 %.

De 0,0334 % er ikke en 100-hånds-risiko. Klassisk ruin er sandsynligheden for, at en spiller, der stopper ved 0, og som må spille for evigt (eller indtil en uendeligt rig modstander absorberer dem), nogensinde rammer 0. En endelig session på 200 hænder har en mindre chance for at røre nul; formlen er det uendelige-horisont-tal, som er det konservative. Sætter du Vindersandsynlighed til 50 % eller derunder, returnerer værktøjet 100 % ruin: uden edge, eller med husfordel, absorberes du næsten sikkert, hvis du spiller længe nok.

Hæv bankrollen til 2000 $, enhed stadig 10 $: enheder = 200, ruin = (12/13)^200 × 100 % ≈ 0,0011 %. Fordobl enhederne, kvadrér (q/p)-faktoren, ruin falder med en faktor omkring 30 i denne region. Klip enheden til 5 $ på en 1000 $-roll: 200 enheder igen. Hæv p til 55 %: q/p = 0,45/0,55 ≈ 0,81818, og 0,81818^100 er omkring 1,7×10^{-9}, så ruin printer 0,0000 % ved fire decimaler. Standardens 52 % er den interessante, fordi 0,48/0,52 = 12/13 ≈ 0,92308 stadig efterlader et synligt 0,0334 % ved 100 enheder.

Modellen er even-money: vind +1 enhed eller tab −1 enhed. Decimalodds 1,91 er ikke even money; skriv ikke 52 % fra en 1,91-bog og forvent, at dette ruittal matcher Kelly eller en skæv random walk. Brug Bet Size Optimizer til Kelly og denne side til møntkast-ruin-skelettet.

Er p = 52 %, men du er underdog i forklædning (vig), skal du skrive den sande p efter vig, ikke de 52 %, du reklamerede over for dig selv.

Gambler’s ruin er forfaderen til hver bankroll-lektion. To spillere udveksler én enhed pr. forsøg; spillet slutter, når den ene er ruineret. Hvis modstanderen er uendeligt rig (huset, eller markedet), er den endelige spillers ruinsandsynlighed med vinderchance p > 1/2 og i enheder (q/p)^i. Christiaan Huygens stillede ruinproblemer i 1657; Abraham de Moivre og senere klassiske tekster behandlede det endelige to-spiller-tilfælde; William Fellers An Introduction to Probability Theory and Its Applications, bind I, er den moderne klasseværelseskilde til den uendelige-modstander-formel, SorteCalc bruger.

Default 52 % er en sportsbettors skitse af en lille edge til even money, ikke et casinospil. Intet bordspil betaler even money til 52 % efter vig — europæisk roulette even money er 18/37 ≈ 48,65 %. Taster du 48,65 %, er p ≤ q, og ruin printer 100 %. Det er det korrekte uendelige-horisont-svar for et negativ-edge even-money-spil: spil længe nok, gå fallit med sandsynlighed 1. Rekreativt spillere hader den sætning; matematikken er ligeglad. En 52 % even-money-proposition ligger tættere på et mildt skarpt sportsbet, efter du allerede har slået close, eller en opfundet klasseværelsesmønt.

Ruinrisiko i poker-litteraturen (Mason Malmuth, senere bankroll-kapitler i hver hold’em-bog) bruger ofte en anden model: normalt fordelte sessionsresultater, eller en diffusionsapproximation. De giver et andet tal end (q/p)^N. Bland dem ikke. Denne analysator er den simple random-walk-ruin, diskret, even money, ingen øvre absorberende barriere (du stopper ikke ved et profitmål). En øvre barriere (stop ved 2N) ville sænke sandsynligheden for at ramme 0; at udelade den er konservativt for en spiller, der aldrig casher ud.

Grænser: kun even money, uafhængige forsøg, konstant p, heltalsenheder via floor, uendelig horisont, ingen samtidige bets, ingen korrelation. En 100-enheds bankroll ved 52 % er “sikker” på dette mål (0,0334 %) og stadig i stand til at tabe 20 enheder i en weekend. Sikkerhed her betyder absorptionssandsynlighed, ikke drawdown-komfort. Thorp og senere Kelly-skribenter ville også spørge om vækstraten; ruin kan være mikroskopisk, mens volatiliteten er utålelig. Brug siden til at se eksponentialen i enhedstallet. 50 enheder ved 52 %: (12/13)^50 × 100 % ≈ 1,83 %. 100 enheder: 0,0334 %. Det fald er, hvorfor “100 enheder” blev et slogan. Sloganet antager p > 1/2 og even money. Uden begge er det folklore.

At beregne spillerens ruingrisiko på lige penge starter fra en simpel tilfældig vandring, ikke fra en weekend med tohundrede hænder. Bankroll 1000, enhed 10, vinderchance 52 procent. Antallet af enheder er heltalsdelen af 1000/10, nemlig 100. Når p overstiger en halv, er ruingssandsynligheden på uendelig horisont mod en uendeligt rig modstander (q/p)^N med q = 1 − p. Her p = 0,52, q = 0,48, q/p = 12/13 ≈ 0,92308, og (0,48/0,52)^100 × 100 procent ≈ 0,0334 procent. Du har hundrede ti-dollar-liv mod en 52-procents mønt på lige penge, og chancen for absorption i nul er 0,0334 procent.

Hvis vinderchancen er 50 procent eller derunder, er ruin 100 procent. Uden kant, eller med husfordel, bliver du næsten sikkert absorberet, hvis du spiller længe nok og aldrig stopper ved et profitmål. Europæisk roulette på lige penge er 18/37 ≈ 48,65 procent; skriv det, og siden printer korrekt vis ruin. Standardens 52 procent er en sportsvædders skitse af en lille kant på lige penge, eller en aulamønt, ikke et bordspil. Fritidsspillere hader sætningen om vis ruin; matematikken er ligeglad. Hæv bankrollen til 2000 ved samme enhed: 200 enheder, ruin ≈ 0,0011 procent. Skær enheden til 5 på en 1000-rulle, og du har igen 200 enheder. Hæv p til 55 procent, og (0,45/0,55)^100 er negligerbar på fire decimaler.

Christiaan Huygens stillede ruingproblemer i 1657. Abraham de Moivre behandlede det endelige to-spillers-tilfælde. William Fellers An Introduction to Probability Theory and Its Applications, bind I, er den moderne aulakilde til formlen for den uendelige modstander. Udledning: lad r_i være ruin fra i enheder. Da er r_0 = 1, r_i går mod 0 når i vokser hvis p > q, og r_i = p r_{i+1} + q r_{i−1}. Karakterligningen har rødder 1 og q/p; begrænsning vælger r_i = (q/p)^i. To-spillers-formlen med modstanderens kapital A genfinder (q/p)^i i grænsen A mod uendelig når p > q. Siden tager den grænse: huset går ikke fallit. Ved p = 1/2 er den endelige formel 1 − i/A, som går mod 1 når A vokser, i tråd med 100-procents-grenen.

Endelige sessioner er mindre risici. Klassisk ruin er sandsynligheden for nogensinde at ramme nul, det konservative tal. Halvtreds enheder ved 52 procent giver omkring 1,83 procent; hundrede enheder giver 0,0334 procent. Det fald er grunden til sloganet «100 enheder». Sloganet antager p > 1/2 og trin plus eller minus én. Decimalodds 1,91 med 52 procents vinderchance er ikke denne vandring: op-trinnet er +0,91, ikke +1. En øvre barriere — stop ved profit — ville sænke chancen for at ramme nul; at udelade den er konservativt for en spiller der aldrig hæver.

Antagelser: plus eller minus én, konstant p, uafhængige forsøg, uendelig modstander, hele enheder, ingen samtidige indsatser. En rest på 9 på en 1009-rulle kasseres af heltalsdelen; det er stadig 100 enheder. Sikkerhed her betyder absorptionssandsynlighed, ikke drawdown-komfort. Thorp og senere vækstforfattere ville også spørge til volatilitet; ruin kan være mikroskopisk, mens et weekend-drawdown på 20 enheder er utåleligt. De 0,0334 procent er nøjagtigt (0,48/0,52)^100 gange 100 under lige-penge-modellen, og intet andet.