Analisador Segurança de Banca

O Analisador de Segurança de Banca calcula o risco de ruína do jogador a dinheiro par a partir de três inputs: Banca (omissão $1000), Tamanho da unidade (omissão $10) e Probabilidade de ganhar (omissão 52%). Unidades de banca = floor(banca / unidade) = floor(1000/10) = 100. Risco de ruína é 100% se p ≤ 0,5, senão (q/p)^unidades × 100% com q = 1 − p. Com os omissões, p = 0,52, q = 0,48, ruína = (0,48/0,52)^100 × 100% ≈ 0,0334%. Tem cem vidas de $10 contra uma moeda a 52% a dinheiro par, e a probabilidade de ir a zero antes do infinito é 0,0334%.

Esses 0,0334% não são um risco de 100 mãos. A ruína clássica é a probabilidade de um jogador que pára em 0 e que pode jogar para sempre (ou até um adversário infinitamente rico o absorver) alguma vez atingir 0. Uma sessão finita de 200 mãos tem uma chance menor de tocar o zero; a fórmula é o número de horizonte infinito, o conservador. Se puser Probabilidade de ganhar em 50% ou abaixo, a ferramenta devolve 100% de ruína: sem vantagem, ou com vantagem da casa, é absorvido quase de certeza se jogar o suficiente.

Suba a banca para $2000, unidade $10: unidades = 200, ruína = (12/13)^200 × 100% ≈ 0,0011%. Duplicar as unidades eleva o factor (q/p) ao quadrado; a ruína cai cerca de 30 vezes nesta região. Corte a unidade para $5 numa banca de $1000: 200 unidades outra vez. Suba p para 55%: q/p = 0,45/0,55 ≈ 0,81818, e 0,81818^100 é cerca de 1,7×10^{-9}, portanto a ruína imprime 0,0000% a quatro decimais. O omissão 52% é o interessante porque 0,48/0,52 = 12/13 ≈ 0,92308 ainda deixa 0,0334% visíveis a 100 unidades.

O modelo é dinheiro par: ganha +1 unidade ou perde −1. Odds decimais 1,91 não são dinheiro par; não escreva 52% de um livro a 1,91 e espere que este número de ruína coincida com Kelly ou um passeio aleatório enviesado. Use o Otimizador de Tamanho de Aposta para Kelly e esta página para o esqueleto de ruína à moeda. Se p = 52% mas na verdade é o underdog depois da vig, escreva o p verdadeiro, não o 52% que anunciou a si próprio.

A ruína do jogador é o ancestral de cada lição de banca. Dois jogadores trocam uma unidade por ensaio; o jogo acaba quando um fica a zero. Se o adversário é infinitamente rico (a casa, ou o mercado), a probabilidade de ruína do jogador finito com chance p > 1/2 e i unidades é (q/p)^i. Christiaan Huygens pôs problemas de ruína em 1657; Abraham de Moivre e textos clássicos posteriores trataram o caso de dois jogadores finitos; An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I, de William Feller, é a fonte moderna de sala de aula da fórmula de adversário infinito que a SorteCalc usa.

O 52% por omissão é um esboço de apostador desportivo com uma pequena vantagem a dinheiro par, não um jogo de casino. Nenhum jogo de mesa paga dinheiro par a 52% depois da vig — a roleta europeia a dinheiro par é 18/37 ≈ 48,65%. Se escrever 48,65%, p ≤ q e a ruína imprime 100%. Essa é a resposta correcta de horizonte infinito para um jogo de vantagem negativa a dinheiro par: jogue o suficiente, vá à falência com probabilidade 1. Os jogadores recreativos odeiam essa frase; a matemática não se importa. Uma proposição a 52% a dinheiro par está mais perto de uma aposta desportiva ligeiramente afiada depois de já ter batido o close, ou de uma moeda de sala de aula inventada.

O risco de ruína na literatura de póquer (Mason Malmuth, capítulos de banca em todos os manuais de hold’em) usa muitas vezes outro modelo: resultados de sessão normais, ou uma aproximação por difusão. Esses dão um número diferente de (q/p)^N. Não os misture. Este analisador é a ruína do passeio aleatório simples, discreto, dinheiro par, sem barreira absorvente superior (não pára num alvo de lucro). Uma barreira superior (parar em 2N) baixaria a probabilidade de bater 0; omiti-la é conservador para quem nunca levanta.

Limites: só dinheiro par, ensaios independentes, p constante, unidades inteiras via floor, horizonte infinito, sem apostas simultâneas, sem correlação. Uma banca de 100 unidades a 52% é “segura” nesta medida (0,0334%) e ainda capaz de perder 20 unidades num fim-de-semana. Segurança aqui significa probabilidade de absorção, não conforto de drawdown. Thorp e os escritores de Kelly perguntariam também pela taxa de crescimento; a ruína pode ser minúscula enquanto a volatilidade é intolerável. Use a página para ver a exponencial na contagem de unidades. 50 unidades a 52%: (12/13)^50 × 100% ≈ 1,83%. 100 unidades: 0,0334%. Essa queda é porque “100 unidades” se tornou slogan. O slogan assume p > 1/2 e dinheiro par. Sem ambos, é folclore.

Calcular o risco de ruína do jogador a dinheiro igual parte de um passeio aleatório simples, não de um fim-de-semana de duzentas mãos. Banca 1000, unidade 10, probabilidade de ganho 52 por cento. O número de unidades é a parte inteira de 1000/10, ou seja 100. Quando p excede um meio, a probabilidade de ruína a horizonte infinito contra um adversário infinitamente rico é (q/p)^N com q = 1 − p. Aqui p = 0,52, q = 0,48, q/p = 12/13 ≈ 0,92308, e (0,48/0,52)^100 × 100 por cento ≈ 0,0334 por cento. Tem cem vidas de dez contra uma moeda de 52 por cento a dinheiro igual, e a chance de absorção no zero é 0,0334 por cento.

Se a probabilidade de ganho é 50 por cento ou menos, a ruína é 100 por cento. Sem vantagem, ou com vantagem da casa, é absorvido quase de certeza se jogar o suficiente e nunca parar num alvo de lucro. O mesmo-dinheiro da roleta europeia é 18/37 ≈ 48,65 por cento; escreva isso e a página imprime correctamente ruína certa. Os 52 por cento por omissão são um esboço de apostador desportivo com pequena vantagem a dinheiro igual, ou uma moeda de sala, não um jogo de mesa. Os jogadores recreativos odeiam a frase da ruína certa; a matemática não se importa. Suba a banca a 2000 na mesma unidade: 200 unidades, ruína ≈ 0,0011 por cento. Corte a unidade a 5 numa banca de 1000 e volta a ter 200 unidades. Suba p a 55 por cento e (0,45/0,55)^100 é desprezável a quatro casas.

Christiaan Huygens pôs problemas de ruína em 1657. Abraham de Moivre tratou o caso de dois jogadores finitos. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I, de William Feller, é a fonte moderna de sala para a fórmula do adversário infinito. Derivação: seja r_i a ruína a partir de i unidades. Então r_0 = 1, r_i tende a 0 quando i cresce se p > q, e r_i = p r_{i+1} + q r_{i−1}. A equação característica tem raízes 1 e q/p; a limitação escolhe r_i = (q/p)^i. A fórmula a dois jogadores com capital A do adversário recupera (q/p)^i no limite A para infinito quando p > q. Esta página toma esse limite: a casa não falha. Em p = 1/2 a fórmula finita é 1 − i/A, que tende a 1 quando A cresce, coerente com o ramo dos 100 por cento.

Sessões finitas são riscos menores. A ruína clássica é a probabilidade de alguma vez tocar o zero, o número conservador. Cinquenta unidades a 52 por cento dão cerca de 1,83 por cento; cem unidades dão 0,0334 por cento. Essa queda é a razão do slogan «100 unidades». O slogan assume p > 1/2 e passos de mais ou menos um. Odds decimais 1,91 com 52 por cento de ganho não são este passeio: o passo para cima é +0,91, não +1. Uma barreira superior — parar num lucro — baixaria a chance de tocar o zero; omiti-la é conservador para quem nunca levanta.

Hipóteses: mais ou menos um, p constante, ensaios independentes, adversário infinito, unidades inteiras, sem apostas simultâneas. Um resto de 9 numa banca 1009 é descartado pela parte inteira; continuam 100 unidades. Segurança aqui significa probabilidade de absorção, não conforto de drawdown. Thorp e os escritores posteriores de taxa de crescimento perguntariam também pela volatilidade; a ruína pode ser minúscula enquanto um drawdown de 20 unidades ao fim-de-semana é intolerável. Os 0,0334 por cento são exactamente (0,48/0,52)^100 vezes 100 no modelo a dinheiro igual, e nada mais.