Indsatsstørrelse Optimizer

Indsatsstørrelse-optimatoren dimensionerer en stake fra Kelly-kriteriet og ganger derefter med en brøk, du vælger. Fire inputs: Bankroll (standard 1000 $), Vindersandsynlighed (standard 55 %), Decimalodds (standard 1,91), Kelly-brøk (standard 50 %). Fuld Kelly f* = (b p − q) / b med b = odds − 1, p = vindersandsynlighed, q = 1 − p. Anvendt brøk = f* × (Kelly-brøk / 100). Optimal stake = bankroll × anvendt. På standarden er b = 0,91, p = 0,55, q = 0,45, b p − q = 0,5005 − 0,45 = 0,0505, f* = 0,0505/0,91 ≈ 0,0554945 → Fuld Kelly 5,55 %. Halv Kelly: anvendt = 2,7747 %, stake = 27,75 $.

De 27,75 $ er 2,77 % af en 1000 $-roll ved et 55 %-skud på 1,91. Fuld Kelly ville satse 55,49 $. Standardens 50 %-brøk er det almindelige «halv Kelly»-kompromis: mindre varians, mindre vækst, færre ruin-stier. Sæt Kelly-brøk til 100 for at se fuld Kelly; sæt den til 25 for quarter Kelly (13,87 $). Sæt Vindersandsynlighed til 52 % ved samme 1,91: f* = (0,91×0,52 − 0,48)/0,91 = (0,4732 − 0,48)/0,91 < 0 → stake 0,00 $. Edgen forsvandt; Kelly er nul. Det er optimizeren, der gør sit job.

Odds 1,91 er den klassiske ~1/1,91 ≈ 52,36 % implied probability; dine 55 % er en 2,64 procentpoint edge. Hæv odds til 2,00 ved 55 %: b = 1, f* = 0,55×1 − 0,45 = 0,10, 10 % fuld Kelly, 50 $ ved halv Kelly. Sænk odds til 1,80 ved 55 %: b = 0,80, b p − q = 0,44 − 0,45 < 0, igen nul. Pris og sandsynlighed skal passe.

Siden kender ikke din sande p. En 55 %, der faktisk er 51 %, vender et «halv Kelly 27,75 $» til et overbet. Fraktionel Kelly er en hedge mod den estimationsfejl, hvilket er derfor Thorp og senere sportssyndikater default’er til en brøk. Læs Fuld Kelly % og Bankroll % sammen: 5,55 % og 2,77 % på standarden. Overstiger 27,75 $ en bogs limit, er matematikken uændret, og begrænsningen ligger andetsteds.

John L. Kelly Jr.s 1956 Bell Labs-paper, A New Interpretation of Information Rate, udledte en stake, der maksimerer den forventede logaritmiske vækst af formue i gentagne bets. Edward O. Thorp bar Kelly ind i blackjack og aktiemarkedet; sportsbettors adopterede det, fordi decimalodds gør b = decimal − 1 indlysende. Fuld Kelly er aggressiv: den maksimerer E[log W] og producerer en volatil formuesti. Halv Kelly, quarter Kelly og andre brøker er ingeniørsvar på usikkerhed i p, på ikke-Kelly-nytte og på det faktum, at det diskrete bet ikke er den kontinuert-tids Brownske model, hvori Kelly er unikt optimal.

SorteCalc anvender den standard binære-bet-formel f* = (b p − q)/b, gulver den ved 0 (ingen negative bets) og skalerer derefter med brøkprocenten. Det er ikke en hestevæddeløbs simultan Kelly (flere korrelerede udfald), ikke en proportional Kelly på tværs af en kupon af parlays, ikke en market-making inventory-model. Ét bet, to udfald, kendte odds, skønnet p.

Standarden 1,91 / 55 % / 1000 $ / 50 % er sportsbogens klasseværelse: en lille edge på en standard decimalpris, halv Kelly. Casinospil med negativ edge giver f* = 0; optimizeren printer 0,00 $, hvis du skriver 48 % på 2,00. Det er en feature. Kelly «finder» ikke en stake til et dårligt bet; den finder nul.

Grænser: p kendt, odds faste, even-money-eller-bedre binær payoff, ingen samtidige bets, ingen drawdown-constraint, ingen skat, ingen kommission (Betfair 2–5 % ville kræve en netto-odds-justering). Overestimering af p er den primære måde, Kelly sprænger på; den log-optimale stake på en forkert p er ikke log-optimal på den sande p. Litteraturen (MacLean, Thorp, Ziemba) bruger kapitler på fraktionel Kelly af den grund. En 50 %-brøk er ikke magi; det er et udbredt greb.

Brug værktøjet til at konvertere en edge til en procent af bankroll, til at se klippen hvor f* rammer 0, og til at sammenligne fuld versus halv. Behandl ikke 27,75 $ som en bookmakers invitation. Kelly antager, at du kan tabe staken og fortsætte med 97,23 % af rullen. Er det falsk, er din nytte ikke log.

At dimensionere en indsats ud fra en skønnet kant begynder med Kellys vækstbrøk og skalerer den derefter med en tillid, du vælger. John L. Kelly Jr.s 1956-artikel fra Bell Labs udledte den formuebrøk der maksimerer forventet logaritmisk vækst på et gentaget binært væddemål. For decimalodds o er netto-odds b = o − 1. Med vinderchance p og q = 1 − p er den vækstoptimale brøk maksimum af nul og (b p − q)/b. Standard: bankroll 1000, p = 55 procent, o = 1,91, tillid — den anvendte Kelly-brøk — 50 procent. Så b = 0,91, b p − q = 0,91 × 0,55 − 0,45 = 0,0505, fuld brøk = 0,0505/0,91 ≈ 0,0554945, eller 5,55 procent af bankrollen.

Indsatsen er bankroll gange den kant-lignende brøk gange tillid over 100: 1000 × (5,55/100) × (50/100) ≈ 27,75. Ækvivalent er halvdelen af 5,55 procent 2,77 procent af 1000, hvilket er 27,75. Fuld Kelly ville satse omkring 55,49. Kvart Kelly ved 25 procents tillid ville satse omkring 13,87. Hvis p = 52 procent ved samme 1,91, er b p − q = 0,91 × 0,52 − 0,48 negativ, og indsatsen er nul: der er ingen kant, så optimeringsreglen nægter at opfinde én. Hæv odds til 2,00 ved 55 procent: b = 1, fuld brøk = 0,10, halv Kelly = 50. Sænk odds til 1,80 ved 55 procent, og kanten forsvinder igen. Pris og sandsynlighed skal passe.

Udledning: maksimér p log(1 + f b) + q log(1 − f). Sæt den afledede til nul og omskriv til f = (b p − q)/b. Hvis tælleren er negativ, ligger maksimum på enhedsintervallet i f = 0. Implicit sandsynlighed for 1,91 er 1/1,91 ≈ 52,356 procent; dine 55 procent er 2,64 point sandsynlighedskant. Forventet værdi pr. indsat enhed er 0,0505, og 0,0554945 × 0,91 = 0,0505 er tjekket. Edward O. Thorp bar Kelly ind i blackjack og markeder; MacLean, Thorp og Ziemba skrev længe om fraktionel Kelly som afdækning mod et fejlvurderet p. 55 procent der i virkeligheden er 51 vender 27,75 til en overindsats; tillidsknappen er en fattigmands-krympning.

Antagelser: kendt konstant p, kendt b, log-nytte, uendeligt delelige indsatser, uafhængige gentagne væddemål, ingen grænse, ingen kommission. Samtidige korrelerede væddemål kræver en anden vektorformel. Casinospil med negativ kant giver nul, hvilket er en dyd. Halv Kelly maksimerer ikke en simpel lukket vækstrate undtagen «halvdelen af den log-optimale f»; det er ingeniørkunst. Kelly antager, at du kan tabe de 27,75 og fortsætte med 97,23 procent af rullen. Hvis det er falsk, er din nytte ikke log. De 27,75 er 1000 × 0,0555 × 0,50, produktet siden er bygget til at lære. En 1,91-husgrænse der capper dig under 27,75 er en binding andetsteds; identiteten ændrer sig ikke.