Optimizador Tamaño de Apuesta

El Optimizador de Tamaño de Apuesta dimensiona una stake a partir del criterio de Kelly y luego multiplica por una fracción que usted elige. Cuatro entradas: Bankroll (default $1000), Probabilidad de ganar (default 55%), Cuotas decimales (default 1,91), Fracción de Kelly (default 50%). Kelly completo f* = (b p − q) / b con b = cuotas − 1, p = probabilidad de ganar, q = 1 − p. Fracción aplicada = f* × (Fracción de Kelly / 100). Stake óptima = bankroll × aplicada. En los defaults, b = 0,91, p = 0,55, q = 0,45, b p − q = 0,5005 − 0,45 = 0,0505, f* = 0,0505/0,91 ≈ 0,0554945 → Kelly completo 5,55%. Medio Kelly: aplicado = 2,7747%, stake = $27,75.

Esos $27,75 son el 2,77% de un roll de $1000 en un disparo al 55% a 1,91. El Kelly completo apostaría $55,49. La fracción 50% default es el compromiso común de “half Kelly”: menos varianza, menos crecimiento, menos caminos de ruina. Ponga Fracción de Kelly en 100 para ver el Kelly completo; en 25 para un cuarto ($13,87). Ponga Probabilidad en 52% al mismo 1,91: f* = (0,91×0,52 − 0,48)/0,91 = (0,4732 − 0,48)/0,91 < 0 → stake $0,00. La ventaja desapareció; Kelly es cero. Eso es el optimizador haciendo su trabajo.

Cuotas 1,91 es el precio clásico con probabilidad implícita ~1/1,91 ≈ 52,36%; su 55% son 2,64 puntos porcentuales de ventaja. Suba las cuotas a 2,00 al 55%: b = 1, f* = 0,10, 10% Kelly completo, $50 a medio Kelly. Baje a 1,80 al 55%: b = 0,80, b p − q = 0,44 − 0,45 < 0, otra vez cero. Precio y probabilidad tienen que encajar.

La página no conoce su p real. Un 55% que en realidad es 51% convierte un “medio Kelly $27,75” en un overbet. El Kelly fraccionario es un hedge contra ese error de estimación, por eso Thorp y los syndicates deportivos posteriores usan una fracción. Lea Kelly completo % y Bankroll % juntos: 5,55% y 2,77% en los defaults. Si $27,75 supera el límite del libro, la matemática no cambia y la restricción está en otro lado.

El artículo de 1956 de John L. Kelly Jr. en Bell Labs, A New Interpretation of Information Rate, derivó una stake que maximiza el crecimiento logarítmico esperado de la riqueza en apuestas repetidas. Edward O. Thorp llevó Kelly al blackjack y al mercado de acciones; los apostadores deportivos lo adoptaron porque las cuotas decimales hacen b = decimal − 1 obvio. El Kelly completo es agresivo: maximiza E[log W] y produce un camino de riqueza volátil. Medio Kelly, un cuarto de Kelly y otras fracciones son respuestas de ingeniería a la incertidumbre en p, a una utilidad que no es Kelly, y al hecho de que la apuesta discreta no es el modelo browniano de tiempo continuo en el que Kelly es únicamente óptimo.

SorteCalc aplica la fórmula estándar de apuesta binaria f* = (b p − q)/b, recorta en 0 (sin apuestas negativas) y escala por el porcentaje de la fracción. No es un Kelly simultáneo de carreras de caballos (varios resultados correlacionados), no es un Kelly proporcional a través de un cupón de parlays, no es un modelo de inventario de market making. Una apuesta, dos resultados, cuotas conocidas, p estimado.

El default 1,91 / 55% / $1000 / 50% es el aula del libro deportivo: una pequeña ventaja en un precio decimal estándar, medio Kelly. Los juegos de casino con ventaja negativa dan f* = 0; el optimizador imprimirá $0,00 si escribe 48% en 2,00. Eso es una función. Kelly no “encuentra una stake” para una apuesta mala; encuentra cero.

Límites: p conocido, cuotas fijas, payoff binario a dinero par o mejor, sin apuestas simultáneas, sin restricción de drawdown, sin impuesto, sin comisión (el 2–5% de Betfair necesitaría un ajuste de cuotas netas). Sobreestimar p es la principal forma de que Kelly explote; la stake log-óptima en un p equivocado no es log-óptima en el p verdadero. La literatura (MacLean, Thorp, Ziemba) dedica capítulos al Kelly fraccionario por esa razón. Una fracción del 50% no es magia; es un mando muy usado. Use la herramienta para convertir una ventaja en un porcentaje de bankroll, para ver el acantilado donde f* golpea 0, y para comparar completo versus medio. No trate $27,75 como una invitación del bookmaker. Kelly asume que puede perder la stake y seguir con el 97,23% del roll. Si eso es falso, su utilidad no es log.

Dimensionar una apuesta a partir de una ventaja estimada empieza por la fracción de crecimiento de Kelly y luego la escala por una confianza que usted elige. El artículo de 1956 de John L. Kelly Jr. en los Bell Labs obtuvo la fracción de riqueza que maximiza el crecimiento logarítmico esperado en una apuesta binaria repetida. Para cuotas decimales o las cuotas netas son b = o − 1. Con probabilidad de ganar p y q = 1 − p, la fracción óptima de crecimiento es el máximo de cero y (b p − q)/b. Valores de origen: banca 1000, p = 55 por ciento, o = 1,91, confianza — la fracción aplicada de Kelly — 50 por ciento. Entonces b = 0,91, b p − q = 0,91 × 0,55 − 0,45 = 0,0505, fracción llena = 0,0505/0,91 ≈ 0,0554945, o 5,55 por ciento de la banca.

La apuesta es banca por esa fracción tipo ventaja por confianza sobre 100: 1000 × (5,55/100) × (50/100) ≈ 27,75. De modo equivalente, la mitad de 5,55 por ciento es 2,77 por ciento de 1000, que es 27,75. Kelly lleno apostaría cerca de 55,49. Un cuarto al 25 por ciento de confianza apostaría cerca de 13,87. Si p = 52 por ciento en el mismo 1,91, b p − q = 0,91 × 0,52 − 0,48 es negativo, y la apuesta es cero: no hay ventaja, así que el optimizador se niega a inventar una. Suba las cuotas a 2,00 al 55 por ciento: b = 1, fracción llena = 0,10, medio Kelly = 50. Baje las cuotas a 1,80 al 55 por ciento y la ventaja desaparece otra vez. Precio y probabilidad tienen que encajar.

Derivación: maximizar p log(1 + f b) + q log(1 − f). Anule la derivada y reordene a f = (b p − q)/b. Si el numerador es negativo el máximo en el intervalo unitario es f = 0. La probabilidad implícita de 1,91 es 1/1,91 ≈ 52,356 por ciento; su 55 por ciento son 2,64 puntos de ventaja en probabilidad. El valor esperado por unidad apostada es 0,0505, y 0,0554945 × 0,91 = 0,0505 es la comprobación. Edward O. Thorp llevó Kelly al blackjack y a los mercados; MacLean, Thorp y Ziemba escribieron largo sobre Kelly fraccionario como cobertura contra un p mal estimado. Un 55 por ciento que en verdad es 51 convierte 27,75 en una sobreapuesta; el mando de confianza es un encogimiento de pobre.

Hipótesis: p constante conocido, b conocido, utilidad logarítmica, apuestas infinitamente divisibles, ensayos repetidos independientes, sin límite, sin comisión. Apuestas simultáneas correlacionadas necesitan una fórmula vectorial distinta. Juegos de casino con ventaja negativa dan cero, lo cual es una virtud. Medio Kelly no maximiza una tasa de crecimiento cerrada simple salvo «la mitad del f log-óptimo»; es ingeniería. Kelly asume que puede perder los 27,75 y seguir con el 97,23 por ciento de la banca. Si eso es falso, su utilidad no es log. Los 27,75 son 1000 × 0,0555 × 0,50, el producto que la página enseña. Un límite de la casa a 1,91 que le tope por debajo de 27,75 es un aprieto en otro sitio; la identidad no cambia.