Otimizador Tamanho de Aposta

O Otimizador de Tamanho de Aposta dimensiona uma stake a partir do critério de Kelly e depois multiplica por uma fracção que escolhe. Quatro inputs: Banca (omissão $1000), Probabilidade de ganhar (omissão 55%), Odds decimais (omissão 1,91), Fracção de Kelly (omissão 50%). Kelly completo f* = (b p − q) / b com b = odds − 1, p = probabilidade de ganhar, q = 1 − p. Fracção aplicada = f* × (Fracção de Kelly / 100). Stake óptima = banca × aplicada. Com os omissões, b = 0,91, p = 0,55, q = 0,45, b p − q = 0,5005 − 0,45 = 0,0505, f* = 0,0505/0,91 ≈ 0,0554945 → Kelly completo 5,55%. Meio Kelly: aplicado = 2,7747%, stake = $27,75.

Os $27,75 são 2,77% de uma banca de $1000 num disparo a 55% em 1,91. O Kelly completo apostaria $55,49. A fracção 50% por omissão é o compromisso comum de “half Kelly”: menos variância, menos crescimento, menos caminhos de ruína. Ponha a Fracção de Kelly em 100 para ver o Kelly completo; em 25 para um quarto ($13,87). Ponha a Probabilidade em 52% no mesmo 1,91: f* = (0,91×0,52 − 0,48)/0,91 = (0,4732 − 0,48)/0,91 < 0 → stake $0,00. A vantagem desapareceu; Kelly é zero. Isso é o otimizador a fazer o trabalho.

Odds 1,91 é o preço clássico com probabilidade implícita ~1/1,91 ≈ 52,36%; os seus 55% são 2,64 pontos percentuais de vantagem. Suba as odds para 2,00 a 55%: b = 1, f* = 0,10, 10% Kelly completo, $50 a meio Kelly. Desça para 1,80 a 55%: b = 0,80, b p − q = 0,44 − 0,45 < 0, outra vez zero. Preço e probabilidade têm de encaixar.

A página não conhece o seu p real. Um 55% que é na verdade 51% transforma um “meio Kelly $27,75” num overbet. O Kelly fraccionário é um hedge contra esse erro de estimação, por isso Thorp e os syndicates desportivos posteriores usam uma fracção. Leia Kelly completo % e Banca % juntos: 5,55% e 2,77% nos omissões. Se $27,75 exceder o limite do livro, a matemática não muda e a restrição está noutro lado.

O artigo de 1956 de John L. Kelly Jr. nos Bell Labs, A New Interpretation of Information Rate, derivou uma stake que maximiza o crescimento logarítmico esperado da riqueza em apostas repetidas. Edward O. Thorp levou Kelly ao blackjack e ao mercado de acções; os apostadores desportivos adoptaram-no porque as odds decimais tornam b = decimal − 1 óbvio. O Kelly completo é agressivo: maximiza E[log W] e produz um caminho de riqueza volátil. Meio Kelly, um quarto de Kelly e outras fracções são respostas de engenharia à incerteza em p, a uma utilidade que não é Kelly, e ao facto de a aposta discreta não ser o modelo browniano de tempo contínuo no qual Kelly é unicamente óptimo.

A SorteCalc aplica a fórmula padrão de aposta binária f* = (b p − q)/b, corta em 0 (sem apostas negativas) e escala pela percentagem da fracção. Não é um Kelly simultâneo de corridas de cavalos (vários resultados correlacionados), não é um Kelly proporcional através de um cupão de parlays, não é um modelo de inventário de market making. Uma aposta, dois resultados, odds conhecidas, p estimado.

O omissão 1,91 / 55% / $1000 / 50% é a sala de aula do livro desportivo: uma pequena vantagem num preço decimal padrão, meio Kelly. Jogos de casino com vantagem negativa dão f* = 0; o otimizador imprimirá $0,00 se escrever 48% em 2,00. Isso é uma funcionalidade. Kelly não “encontra uma stake” para uma aposta má; encontra zero.

Limites: p conhecido, odds fixas, payoff binário a dinheiro par ou melhor, sem apostas simultâneas, sem restrição de drawdown, sem imposto, sem comissão (os 2–5% da Betfair precisariam de um ajuste de odds líquidas). Sobrestimar p é a principal forma de o Kelly rebentar; a stake log-óptima num p errado não é log-óptima no p verdadeiro. A literatura (MacLean, Thorp, Ziemba) passa capítulos no Kelly fraccionário por essa razão. Uma fracção de 50% não é mágica; é um botão muito usado. Use a ferramenta para converter uma vantagem numa percentagem da banca, para ver o precipício onde f* bate 0, e para comparar completo versus meio. Não trate $27,75 como um convite do bookmaker. Kelly assume que pode perder a stake e continuar com 97,23% da banca. Se isso for falso, a sua utilidade não é log.

Dimensionar uma aposta a partir de uma vantagem estimada começa pela fracção de crescimento de Kelly e depois escala-a por uma confiança que escolhe. O artigo de 1956 de John L. Kelly Jr. nos Bell Labs obteve a fracção de riqueza que maximiza o crescimento logarítmico esperado numa aposta binária repetida. Para odds decimais o as odds líquidas são b = o − 1. Com probabilidade de ganho p e q = 1 − p, a fracção óptima de crescimento é o máximo de zero e (b p − q)/b. Omissões: banca 1000, p = 55 por cento, o = 1,91, confiança — a fracção aplicada de Kelly — 50 por cento. Então b = 0,91, b p − q = 0,91 × 0,55 − 0,45 = 0,0505, fracção cheia = 0,0505/0,91 ≈ 0,0554945, ou 5,55 por cento da banca.

A aposta é banca vezes essa fracção tipo vantagem vezes confiança sobre 100: 1000 × (5,55/100) × (50/100) ≈ 27,75. Equivalentemente, metade de 5,55 por cento é 2,77 por cento de 1000, que é 27,75. Kelly cheio apostaria cerca de 55,49. Um quarto a 25 por cento de confiança apostaria cerca de 13,87. Se p = 52 por cento no mesmo 1,91, b p − q = 0,91 × 0,52 − 0,48 é negativo, e a aposta é zero: não há vantagem, portanto o optimizador recusa inventar uma. Suba as odds a 2,00 a 55 por cento: b = 1, fracção cheia = 0,10, meio Kelly = 50. Baixe as odds a 1,80 a 55 por cento e a vantagem desaparece outra vez. Preço e probabilidade têm de encaixar.

Derivação: maximizar p log(1 + f b) + q log(1 − f). Anule a derivada e rearranje para f = (b p − q)/b. Se o numerador for negativo o máximo no intervalo unitário é f = 0. A probabilidade implícita de 1,91 é 1/1,91 ≈ 52,356 por cento; os seus 55 por cento são 2,64 pontos de vantagem em probabilidade. O valor esperado por unidade apostada é 0,0505, e 0,0554945 × 0,91 = 0,0505 é a verificação. Edward O. Thorp levou Kelly ao blackjack e aos mercados; MacLean, Thorp e Ziemba escreveram longamente sobre Kelly fraccionário como cobertura contra um p mal estimado. Uns 55 por cento que na verdade são 51 transformam 27,75 numa sobreaposta; o botão de confiança é um encolhimento de pobre.

Hipóteses: p constante conhecido, b conhecido, utilidade logarítmica, apostas infinitamente divisíveis, ensaios repetidos independentes, sem limite, sem comissão. Apostas simultâneas correlacionadas precisam de uma fórmula vectorial diferente. Jogos de casino com vantagem negativa dão zero, o que é uma virtude. Meio Kelly não maximiza uma taxa de crescimento fechada simples excepto «metade do f log-óptimo»; é engenharia. Kelly assume que pode perder os 27,75 e continuar com 97,23 por cento da banca. Se isso for falso, a sua utilidade não é log. Os 27,75 são 1000 × 0,0555 × 0,50, o produto que a página ensina. Um limite da casa a 1,91 que o capite abaixo de 27,75 é um constrangimento noutro sítio; a identidade não muda.