Møntkast Sandsynlighed Beregner

Lad Kast stå på 10 og Kroner på 5. Det er den fair mønt, binomial(n=10, p=1/2), midten af fordelingen. Beregn. Sandsynlighed for præcis fem kroner i ti kast er 24,6094 %, og Forventede kroner er 5,0. Det første tal afhænger af begge felter; det andet er n/2 og ignorerer Kroner-feltet. Du får et punktmassetal og et middelværdi, ikke en simulation af en fysisk mønt.

Regn standarden i hånden, så skærmen ikke er en sort boks. Antallet af binære sekvenser med præcis fem kroner i ti forsøg er binomialkoefficienten C(10,5) = 10! / (5!·5!) = 252. Hver konkret sekvens af ti kast har sandsynlighed (1/2)^10 = 1/1024. Produkt: 252/1024 = 0,24609375, vist som 24,6094 %. Forventningen er altid n/2 for en fair mønt, altså 5,0. Kroner-feltet fodrer kun den eksakte-tælling; det rører ikke middelværdien.

Skift Kroner til 0 med Kast stadig 10. Kun alle-plat-sekvensen overlever, så sandsynligheden kollapser til 1/1024 ≈ 0,0977 %. Kroner = 10 er det samme tal ved symmetri. Kroner = 3 giver C(10,3)/1024 = 120/1024 ≈ 11,7188 %. Motoren klemmer k med min(kroner, kast), så Kroner = 12 og Kast = 10 beregner stille P(præcis 10 kroner). Kast er begrænset 1–40, fordi C(n,k) og 2^n vokser hurtigt; fyrre kast giver allerede et 2^40-udfaldsrum.

Middelværdien 5,0 er ikke et løfte om, at næste session på ti kast lander på fem kroner. Variansen af Binomial(n, 1/2) er np(1−p) = 2,5, så spredningen er √2,5 ≈ 1,58 kroner. Cirka to tredjedele af ti-kasts-sessioner falder mellem cirka 3,4 og 6,6 kroner. En hale af plat gør ikke krone «forfalden». Beregneren har intet hukommelsesled, fordi en fair mønt ingen har.

Brug siden som kalibrering, før du stoler på mere eksotiske binomialmodeller — biased mønter, ulige p, eller optional stopping. Hvis 24,6094 % i midten af en ti-kasts-session føles forkert, er intuitionen problemet, ikke Pascals formel. Casinosnak om en mønt der «skylder» krone er spillerens fejlslutning i ren form.

Et møntkast er det ældste klasseværelseseksempel på et Bernoulli-forsøg: to udfald, ens sandsynlighed, uafhængighed mellem kast. Spillere brugte mønter til at afgøre tvister længe før de brugte dem til at undervise kombinatorik. Det der ændrede sig i 1654 var ikke metallet. Blaise Pascal og Pierre de Fermat, i breve om problème des partis — hvordan man deler en pulje, når et hasardspil afbrydes — satte binomialkoefficienten og den lige sandsynlige sekvens på fast grund. Christiaan Huygens’ De ratiociniis in ludo aleae (1657) gav forventning en numerisk definition. Jacob Bernoullis Ars Conjectandi (udgivet 1713) beviste den svage store tals lov for netop denne proces: stikprøveandelen af kroner konvergerer i sandsynlighed mod 1/2.

SorteCalcs værktøj er bevidst smalt. Det beregner P(X = k) for X ~ Binomial(n, 1/2) og middelværdien n/2. Det simulerer ikke en fysisk mønt, estimerer ikke bias fra data og implementerer ikke en sekventiel test. Rigtige mønter er let biased; Persi Diaconis og kolleger har målt spinning og flipping, der lander på startfladen oftere end 50 %. En casino-«møntkast»-kampagne er typisk en marketingindpakning om en tilfældighedsgenerator, ikke en præget skive. Intet af det går ind i formlen her. Den pædagogiske værdi er det modsatte af realisme: kan du ikke beregne det fair tilfælde, kan du ikke fortolke et biased.

Beregneren findes, fordi folk kronisk fejllæser sekvenser. Ti kast med fem kroner føles «normalt»; ti kast med én krone føles «i stykker». Begge er fuldt lovlige udfald af det samme mål. Sandsynlighedsmassefunktionen er symmetrisk og toppet ved 5, men halerne er fede nok til, at 2 kroner i 10 (C(10,2)/1024 = 45/1024 ≈ 4,39 %) sker ofte på en aften. Sportsafgørelser og turneringstiebreaks, der bruger en mønt, bruger denne fordeling, ikke held som moralsk kvalitet.

Grænserne er skarpe. Uafhængighed svigter, hvis kastet er en spin med bevaret vinkelbias, eller hvis en dealer palmer en mønt og indfører afhængighed. Binomialmodellen svigter også, hvis du stopper, når du rammer fem kroner — det er en negativ-binomial ventetid, en anden stokastisk variabel. Optional stopping er, hvordan mange «varm stime»-historier fremstilles. Siden redder dig ikke fra den designfejl; den fortæller kun sandsynligheden for et fast (n, k)-par under en fair, uafhængig model.

Behandl outputtet som en definition, ikke et forecast. Efter én session på ti kast ser du et heltal mellem 0 og 10. Efter tusind sessioner samler histogrammet sig om 5, som Bernoulli lovede. Danske mønter, euros og kasinochips ændrer ikke 252/1024. Kun p ≠ 1/2 eller afhængighed gør.

At beregne sandsynligheden for præcis fem plat i ti kast med en ærlig mønt er aulaens kerneopgave for binomialfordelingen med parameter en halv. Hvert kast er et uafhængigt Bernoulli-forsøg. Antallet af følger med fem plat er koefficienten C(10,5) = 10! / (5! 5!) = 252. Hver konkret følge af ti sider har sandsynlighed (1/2)^10 = 1/1024. Produktet 252/1024 = 0,24609375, trykt som 24,6094 procent. Forventningen af antal plat er n/2 = 5, uafhængigt af det spurgte k: feltet plat fodrer kun punktmassen, ikke middelværdien.

Korrespondancen fra 1654 mellem Blaise Pascal og Pierre de Fermat om problème des partis — hvordan man deler banken i et afbrudt spil — gjorde de koefficienter til sandsynligheder og ikke blot kombinatoriske tal. Christiaan Huygens gav i 1657 forventning en numerisk definition. Jacob Bernoullis Ars Conjectandi, udgivet 1713, beviser den svage store tals lov for netop denne proces: stikprøveandelen af plat konvergerer i sandsynlighed mod en halv. De Moivre lagde senere en normal-kurve omkring Pascals trekant; den tilnærmelse tjener stort n, den erstatter ikke 252/1024 når n = 10.

Symmetri: sandsynligheden for k plat er lig sandsynligheden for n − k, så nul plat og ti plat deler 1/1024 ≈ 0,0977 procent. Tre plat giver C(10,3)/1024 = 120/1024 ≈ 11,7188 procent. Variansen er n/4 = 2,5 og spredningen omkring 1,5811 plat; omtrent to tredjedele af ti-kast-serier lander mellem 3,4 og 6,6. Kumulative sandsynligheder er et andet objekt: P(højst fem) ville summere k = 0 til 5 og, på grund af atomet i middelværdien, give 62,3046875 procent. Siden rapporterer kun atomet.

Antagelser: uafhængige kast, p = 1/2 konstant, n valgt før data ses. En spin-skævhed, en mønt som Diaconis målte til at lande oftere på startfladen, eller en regel der stopper ved fem plat, forlader denne lov. Valgfri stop fabrikerer «varme serier». Efter tusindvis af sessioner à ti kast sætter gennemsnittet af heltallene sig nær 5; det er Bernoulli, ikke et system, og ikke et løfte om de næste ti. Hvis 24,6094 procent i centrum føles for højt, er problemet intuitionen, ikke Pascals formel.