Calculadora Cara ou Coroa

A Calculadora Cara ou Coroa pede dois inteiros: Lançamentos (n) e Caras (k). Os valores por omissão são 10 lançamentos e 5 caras — o problema clássico de uma moeda honesta, Binomial(n, 1/2). Calcule sem alterar nada: SorteCalc devolve P(exactamente 5 caras em 10) = 24,6094% e Caras esperadas = 5,0. O primeiro número depende de k; o segundo é sempre n/2 e ignora o campo Caras.

Faça as contas à mão. p = 1/2 em cada lançamento independente. O número de sequências com exactamente cinco caras é C(10,5) = 10!/(5!5!) = 252. Cada sequência de dez tem probabilidade (1/2)^10 = 1/1024. O produto 252/1024 = 0,24609375, impresso como 24,6094%. A esperança é 10/2 = 5,0. Se mudar Caras para 0, só sobrevive a sequência de dez coroas: 1/1024 ≈ 0,0977%. Caras = 10 dá o mesmo por simetria. Caras = 3 dá C(10,3)/1024 = 120/1024 ≈ 11,7188%. O motor limita k com min(caras, lançamentos): se escrever 12 caras em 10 lançamentos, calcula P(10 caras).

Lançamentos está entre 1 e 40 porque 2^n e C(n,k) crescem depressa. A média 5,0 não promete que a próxima série de dez caia em cinco caras. A variância de Binomial(10, 1/2) é np(1−p) = 2,5, desvio-padrão √2,5 ≈ 1,58. Cerca de dois terços das séries de dez ficam entre 3,4 e 6,6 caras. Uma sequência de coroas não torna a cara “devida”: a calculadora não tem memória porque a moeda honesta também não tem.

Use a página para calibrar a intuição antes de modelos enviesados ou regras de paragem. Se 24,6094% no centro de dez lançamentos lhe parecer demasiado alto, o problema é a intuição, não a fórmula de Pascal. O discurso de casino sobre uma moeda que “deve” caras é a falácia do jogador no estado puro. O campo Caras alimenta só a probabilidade pontual; a esperança continua n/2 mesmo que peça k = 0.

Uma moeda é o modelo de sala de aula do ensaio de Bernoulli: dois resultados, probabilidade igual, independência. Jogadores usavam moedas para decidir desempates muito antes de as usarem para ensinar combinatória. O que mudou em 1654 não foi o objecto físico. Blaise Pascal e Pierre de Fermat, na correspondência sobre o problème des partis — como dividir a banca de um jogo interrompido — colocaram o coeficiente binomial e a sequência equiprovável em terreno sólido. O De ratiociniis in ludo aleae de Christiaan Huygens (1657) deu à esperança uma definição numérica. A Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli (1713) provou a lei fraca dos grandes números para este processo: a proporção amostral de caras converge em probabilidade para 1/2.

A ferramenta da SorteCalc é estreita de propósito. Calcula P(X = k) para X ~ Binomial(n, 1/2) e a média n/2. Não simula uma moeda física, não estima viés a partir de dados, não implementa um teste sequencial. Moedas reais são ligeiramente enviesadas; Persi Diaconis e colegas mediram moedas que caem mais vezes na face de partida do que 50%. Uma promoção de “lançamento” num casino é quase sempre um gerador, não um disco cunhado. Nada disso entra na fórmula. O valor educativo é o contrário do realismo: se não souber o caso honesto, não interpreta o enviesado.

As pessoas lêem mal as sequências. Dez lançamentos com cinco caras parece “normal”; dez com uma cara parece “avariado”. Ambos são resultados legais da mesma medida. A função de probabilidade é simétrica e tem pico em 5, mas as caudas bastam para que 2 caras em 10 (45/1024 ≈ 4,39%) apareçam numa noite. Desempates desportivos que usam moeda estão a usar esta distribuição, não uma qualidade moral da sorte.

Limites nítidos: a independência falha se o lançamento for um spin com viés angular, ou se houver trapaça. O modelo binomial também falha se parar ao chegar a cinco caras — isso é um tempo de espera binomial negativa, outra variável. A paragem opcional é como se fabricam histórias de “série quente”. Esta página não o salva desse erro de desenho; só diz a probabilidade de um par (n, k) fixo sob um modelo honesto e independente. Trate o resultado como definição, não como previsão. Pascal e Fermat estavam a dividir um pote, não a escolher um lado.

Calcular a probabilidade de exactamente cinco caras em dez lançamentos de uma moeda honesta é o problema central da lei binomial com parâmetro um meio. Cada lançamento é um ensaio de Bernoulli independente. O número de sequências com cinco caras é o coeficiente C(10,5) = 10! / (5! 5!) = 252. Cada sequência concreta de dez faces tem probabilidade (1/2)^10 = 1/1024. O produto 252/1024 = 0,24609375, impresso como 24,6094 por cento. A esperança do número de caras é n/2 = 5, independentemente do k pedido: o campo das caras alimenta só a massa pontual, não a média.

A correspondência de 1654 entre Blaise Pascal e Pierre de Fermat sobre o problème des partis — como repartir a banca de um jogo interrompido — transformou aqueles coeficientes em probabilidades e não apenas em contagens. Christiaan Huygens, em 1657, deu à esperança uma definição numérica. A Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli, publicada em 1713, demonstra a lei fraca dos grandes números para este processo: a proporção amostral de caras converge em probabilidade para um meio. De Moivre envolveu mais tarde uma curva normal em torno do triângulo de Pascal; essa aproximação serve n grande, não substitui 252/1024 quando n = 10.

Simetria: a probabilidade de k caras iguala a de n − k, portanto zero caras e dez caras partilham 1/1024 ≈ 0,0977 por cento. Três caras dão C(10,3)/1024 = 120/1024 ≈ 11,7188 por cento. A variância é n/4 = 2,5 e o desvio-padrão é cerca de 1,5811 caras; cerca de dois terços das séries de dez caem entre 3,4 e 6,6. Probabilidades cumulativas são outro objecto: P(no máximo cinco) somaria k = 0 até 5 e, por causa do átomo na média, valeria 62,3046875 por cento. Esta página reporta só o átomo.

Hipóteses: lançamentos independentes, p = 1/2 constante, n escolhido antes de ver os dados. Um viés de rotação, uma moeda que Diaconis mediu a cair mais vezes na face de partida, ou uma regra que para ao atingir cinco caras, saem desta lei. A paragem opcional fabrica «séries quentes». Depois de milhares de sessões de dez lançamentos a média dos inteiros senta-se perto de 5; isso é Bernoulli, não um sistema, e não uma promessa sobre os próximos dez. Se 24,6094 por cento no centro lhe parecer excessivo, o problema é a intuição, não a fórmula de Pascal.