Calculadora Cara o Cruz

La Calculadora Cara o Cruz pide dos enteros: Lanzamientos (n) y Caras (k). Los valores por defecto son 10 lanzamientos y 5 caras, el problema de moneda justa que ocupa el centro de una Binomial(n, 1/2). Déjelos, calcule, y SorteCalc devuelve P(exactamente 5 caras en 10) = 24,6094% junto con Caras esperadas = 5,0. Ese par es toda la salida: una probabilidad puntual para el recuento que pidió y la media de la distribución, que no depende de k.

Haga el default a mano para que la pantalla no sea una caja negra. Una moneda justa tiene p = 1/2 en cada lanzamiento independiente. El número de secuencias con exactamente cinco caras en diez ensayos es C(10,5) = 10!/(5!5!) = 252. Cada secuencia concreta de diez tiene probabilidad (1/2)^10 = 1/1024. Multiplique: 252/1024 = 0,24609375, impreso como 24,6094%. Las caras esperadas son siempre n/2 para una moneda justa, así que 10/2 = 5,0. El campo Caras no alimenta esa segunda línea; solo entra en la probabilidad del recuento exacto.

Cambie Caras a 0 con Lanzamientos aún en 10. Solo sobrevive la secuencia de todas cruces, así que la probabilidad cae a 1/1024 ≈ 0,0977%. Caras = 10 es el mismo número por simetría. Caras = 3 da C(10,3)/1024 = 120/1024 ≈ 11,7188%. El motor recorta k con min(caras, lanzamientos), así que escribir Caras = 12 y Lanzamientos = 10 calcula en silencio P(exactamente 10 caras). Lanzamientos está acotado 1–40 porque C(n,k) y 2^n crecen rápido; cuarenta ya dan un espacio 2^40.

La media 5,0 no promete que su próxima sesión de diez caiga en cinco caras. La varianza de Binomial(n, 1/2) es np(1−p) = 2,5, de modo que la desviación típica es √2,5 ≈ 1,58 caras. Aproximadamente dos tercios de las sesiones de diez caen entre 3,4 y 6,6 caras. Rachas de cruces no hacen las caras “debidas”. La calculadora no tiene término de memoria porque una moneda justa tampoco. Úsela como calibración antes de modelos sesgados, p desigual o parada opcional. Si 24,6094% en el centro de diez lanzamientos le parece raro, el problema es la intuición, no la fórmula de Pascal. El parloteo de casino sobre una moneda que “debe” caras es la falacia del apostador en estado puro.

Una moneda es el modelo de aula del ensayo de Bernoulli: dos resultados, probabilidad igual, independencia entre lanzamientos. Los apostadores usaban monedas para resolver empates mucho antes de usarlas para enseñar combinatoria. Lo que cambió en 1654 no fue el hardware. Blaise Pascal y Pierre de Fermat, escribiendo sobre el problème des partis —cómo repartir un bote cuando se interrumpe un juego de azar— pusieron el coeficiente binomial y la secuencia equiprobable sobre terreno firme. El De ratiociniis in ludo aleae de Christiaan Huygens (1657) dio a la esperanza una definición numérica. El Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli (1713) demostró la ley débil de los grandes números para este proceso: la proporción muestral de caras converge en probabilidad a 1/2.

La herramienta de SorteCalc es deliberadamente estrecha. Calcula P(X = k) para X ~ Binomial(n, 1/2) y la media n/2. No simula una moneda física, no estima sesgo a partir de datos ni implementa un test secuencial. Las monedas reales están ligeramente sesgadas; Persi Diaconis y colegas han medido monedas que caen en la cara de partida más a menudo que el 50%. Una promoción de “cara o cruz” en un casino suele ser un generador, no un disco acuñado. Nada de eso entra en la fórmula. El valor educativo es lo contrario del realismo: si no sabe calcular el caso justo, no interpreta uno sesgado.

La calculadora existe porque la gente lee mal las secuencias. Diez lanzamientos con cinco caras parece “normal”; diez con una cara parece “roto”. Ambos son resultados legales de la misma medida. La función de masa es simétrica y tiene pico en 5, pero las colas bastan para que 2 caras en 10 (45/1024 ≈ 4,39%) ocurran en una noche. Los desempates deportivos que usan moneda están usando esta distribución, no la suerte como cualidad moral.

Los límites son nítidos. La independencia falla si el lanzamiento es un spin con sesgo angular, o si un crupier introduce dependencia. El modelo binomial también falla si para al llegar a cinco caras: eso es un tiempo de espera binomial negativa, otra variable. La parada opcional es cómo se fabrican muchas historias de racha. Esta página no le salva de ese error de diseño; solo dice la probabilidad de un par (n, k) fijo bajo un modelo justo e independiente. Trate la salida como definición, no como pronóstico. Tras una sesión de diez verá un entero entre 0 y 10. Tras miles de sesiones el promedio se sentará cerca de 5. Eso es la ley de los grandes números, no un sistema. Pascal y Fermat repartían un bote, no elegían un lado.

Calcular la probabilidad de exactamente cinco caras en diez lanzamientos de una moneda honesta es el problema de aula de la ley binomial con parámetro un medio. Cada lanzamiento es un ensayo de Bernoulli independiente. El número de secuencias con cinco caras es el coeficiente C(10,5) = 10! / (5! 5!) = 252. Cada secuencia concreta de diez caras tiene probabilidad (1/2)^10 = 1/1024. El producto 252/1024 = 0,24609375, impreso como 24,6094 por ciento. La esperanza del recuento de caras es n/2 = 5, con independencia del k pedido: el campo de caras alimenta solo la masa puntual, no la media.

La correspondencia de 1654 entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat sobre el problème des partis — cómo repartir la banca de un juego interrumpido — convirtió esos coeficientes en probabilidades y no meras cuentas combinatorias. Christiaan Huygens, en 1657, dio a la esperanza una definición numérica. El Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli, publicado en 1713, prueba la ley débil de los grandes números para este proceso: la proporción muestral de caras converge en probabilidad a un medio. De Moivre envolvió después una curva normal alrededor del triángulo de Pascal; esa aproximación sirve para n grande, no sustituye 252/1024 cuando n = 10.

Simetría: la probabilidad de k caras iguala la de n − k, así que cero caras y diez caras comparten 1/1024 ≈ 0,0977 por ciento. Tres caras dan C(10,3)/1024 = 120/1024 ≈ 11,7188 por ciento. La varianza es n/4 = 2,5 y la desviación típica ronda 1,5811 caras; unos dos tercios de las series de diez caen entre 3,4 y 6,6. Las probabilidades acumuladas son otro objeto: P(como máximo cinco) sumaría k = 0 hasta 5 y, por el átomo en la media, valdría 62,3046875 por ciento. Esta página informa solo el átomo.

Hipótesis: lanzamientos independientes, p = 1/2 constante, n elegido antes de ver los datos. Un sesgo de giro, una moneda que Diaconis midió cayendo más veces en la cara de partida, o una regla que para al alcanzar cinco caras, salen de esta ley. La parada opcional fabrica «rachas calientes». Tras miles de sesiones de diez lanzamientos la media de los enteros se sienta cerca de 5; eso es Bernoulli, no un sistema, y no una promesa sobre los próximos diez. Si 24,6094 por ciento en el centro le parece excesivo, el problema es la intuición, no la fórmula de Pascal.