Terningkast Simulator

Formularen tager tre heltal: Antal terninger (1–8, standard 2), Måltotal (standard 7) og Kast (1–100, standard 1). Det er ikke et Monte Carlo-legetøj, der maler tilfældige øjne. Den enumererer det eksakte antal udfald, der summer til målet, dividerer med 6^terninger og omsætter så et enkelt-kast-hit til sandsynligheden for at se den total mindst én gang i R uafhængige kast.

Lad standarden stå: to sekssidedede terninger, mål 7, ét kast. Enkeltkast-sandsynlighed er 16,67 % og Mindst-én-gang er også 16,67 %, fordi R = 1 får de to tal til at falde sammen. De 16,67 % er 6/36. De seks ordnede par, der summer til 7, er (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Udfaldsrummet er 6×6 = 36 lige sandsynlige ordnede par. Hæv Kast til 2, og Mindst-én-gang bliver 1 − (5/6)^2 = 11/36 ≈ 30,56 %, mens enkeltkast-linjen bliver ved 16,67 %. Den split er pointen med det tredje felt.

Motoren klemmer målet ind i [terninger, 6×terninger]. To terninger kan ikke summe til 1 eller 13; otte terninger kan ikke summe til 7. Skriver du et mål uden for støtten, skubbes det til nærmeste mulige sum før enumerationen. Antal terninger over 8 afvises, fordi 6^8 = 1.679.616 allerede, og det dynamiske program, der tæller veje, er dimensioneret til den grænse. Kast over 100 afvises, så (1−p)^R ikke underflower til et dekorativt 100,00 %, der skjuler et stadig lille p.

Læs begge outputs. Enkeltkast er den atomare chance på ét slag. Mindst-én-gang er 1 − (1 − p)^R, komplementet til at misser på hvert slag. Folk forveksler «jeg kaster 2d6 tyve gange» med «chancen for en 7 bliver 20 × 16,67 %». Det produkt er 333 %, som ikke er en sandsynlighed. Det korrekte tyve-kasts-tal er 1 − (5/6)^20 ≈ 97,39 %. Beregneren viser det, hvis du sætter Kast = 20.

Et arbejdet kontrast: tre terninger, mål 10, ét kast. Veje til 10 på 3d6 er 27 ud af 216, så p = 12,50 %. Ti kast: 1 − (0,875)^10 ≈ 73,69 %. Værktøjet bruger samme rekursion for ethvert lovligt (terninger, mål)-par. Det antager ikke 2d6; 6/36-eksemplet er kun standarden, berømt fordi craps og utallige brætspil sidder på det gitter.

Terninger er ældre end skrevet sandsynlighed. Seksfladede terninger dukker op i mesopotamisk og romersk arkæologi; latinens alea i alea iacta est er en terning, ikke en metafor der kom først. Det unge er enumerationen af summer. Galileo Galilei skrev en kort note, Sopra le scoperte dei dadi, der forklarede, hvorfor 10 optræder oftere end 9 på 3d6 (27 veje versus 25), selv om begge sidder samme afstand fra middelværdien 10,5 — en korrektion til en gamblingtvist. Christiaan Huygens og senere Abraham de Moivre behandlede terninger som det genererende-funktions-eksempel, der stadig lever i hvert kombinatorikkursus.

SorteCalc enumererer frem for at simulere, fordi tilstandsrummet er lille. To terninger har 36 udfald; otte terninger har 6^8 ≈ 1,68 millioner, som et dynamisk program tæller på millisekunder ved at vandre et map af løbende summer. En «simulator», der kastede en PRNG 10.000 gange, ville give et støjfyldt skøn af et tal, du kan kende eksakt. At kalde siden en simulator er et nik til, hvordan folk søger; matematikken er en tæller.

Værktøjet svarer på to spørgsmål, der blandes i craps, Sicherman-terninger og RPG-skadekast. Først: hvad er P(sum = t) på n fair d6? Andet: hvis jeg gentager eksperimentet R gange, hvad er P(mindst én succes)? Det andet er en geometrisk-komplement-beregning, ikke en ny enumeration. Uafhængighed mellem kast antages. En biased terning, et barberet øje eller en korreleret elektronisk ruller knækker begge tal.

Den prissætter ikke et craps Pass Line-bet, fordi det væddemål er en sti gennem come-out og point, ikke en enkelt måltotal. Den håndterer ikke ikke-sekssidedede terninger; motoren hardcoder faces 1..6. Fudge-terninger, d20-systemer og exploding dice er andre udfaldsrum. Sicherman-terninger (det eneste andet par af positive-heltals-terninger, der matcher 2d6’s sumfordeling) ville producere samme P(sum = 7) = 6/36, hvilket er et teorem, ikke en indstilling på denne formular.

Brug den til at slå myten ihjel, at 7 er «forfalden» efter en stime af 2’ere, og til at se, hvor hurtigt «mindst én gang» klatrer med R. Galileos 3d6-tabel er den intellektuelle forfader; implementationen er en lærebogs-knapsack-agtig DP på en additiv gruppe. Danske brætspillere kender 2d6 fra Matador og Catan; craps-filtets 7 er samme gitter.

At beregne terningesummer begynder med ligesandsynlige sider, ikke med et teater af malede tilfældige tal. To ærlige sekssidedes terninger, mål 7, ét kast: rummet har 6 × 6 = 36 ordnede par. Præcis seks summer til 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Sandsynligheden i ét kast er 6/36 = 1/6 ≈ 16,67 procent. Med R = 1 falder sandsynligheden for at se en 7 mindst én gang sammen, fordi et miss har chance 5/6.

Det andet spørgsmål divergerer, når uafhængige kast gentages. Sandsynligheden for mindst ét hit i R forsøg er 1 − (1 − p)^R med p = 6/36. To kast: 1 − (5/6)^2 = 11/36 ≈ 30,56 procent. Tyve kast: 1 − (5/6)^20 ≈ 97,39 procent, og ikke tyve gange 16,67 procent, som ville give 333 procent, et meningsløst tal. Produktet af en sandsynlighed og et antal er ikke en sandsynlighed. Forventet antal hit ville være R p; her trykkes kun komplementet til totalt nederlag.

Frembringelsesfunktionen (x + x^2 + … + x^6)^n har som koefficient til x^t antallet af udfald der summer til t. For to terninger er koefficienterne til x^2 gennem x^12 rækken 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, og x^7-leddet er 6. Samme tælling kan vokse ved rekursion: én måde at summe til 0 med nul terninger, hver ny terning udvider hver eksisterende sum med sider 1 til 6. Tre terninger med mål 10: 27 af 216 veje, 12,50 procent i ét kast; ti kast giver omkring 73,69 procent mindst én gang.

Galileo skrev Sopra le scoperte dei dadi for at forklare, hvorfor 10 kommer oftere end 9 på tre terninger — 27 veje mod 25 — selv om begge sidder samme afstand fra middelværdien 10,5. Huygens og de Moivre tabelopstillede summer; Feller åbner stadig gitterfordelinger med to terninger. Lukket form via inklusion eller enhedsrodder matcher frembringeren og ændrer ikke 6/36.

Antagelser: uafhængige ærlige sekssidedes, ordnede udfald ligesandsynlige, mål i støtten [n, 6n], kast indbyrdes uafhængige. Et konstant additivt tillæg forskyder målet, ikke 6^n. Craps Pass Line er en sti gennem come-out og point, ikke ét totaltal; denne regning prissætter ikke det væddemål. Terninger der ikke er sekssidedes er et andet rum. Syv bliver ikke «skyldig» efter en serie af toere; atomet 6/36 har ingen hukommelse.