Simulador de Dados

O Simulador de Dados pede três inteiros: Número de Dados (1–8, omissão 2), Total alvo (omissão 7) e Lançamentos (1–100, omissão 1). Não é um brinquedo de Monte Carlo que pinta faces aleatórias. Enumera o número exacto de resultados que somam o alvo, divide por 6^dados, e converte o acerto num lançamento na probabilidade de ver esse total pelo menos uma vez em R lançamentos independentes.

Deixe os valores por omissão: dois dados de seis faces, alvo 7, um lançamento. A probabilidade num único lançamento é 16,67% e a de pelo menos uma vez também 16,67%, porque com R = 1 coincidem. Os 16,67% são 6/36. Os seis pares ordenados que somam 7 são (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). O espaço amostral é 6×6 = 36 pares igualmente prováveis. Suba Lançamentos para 2: pelo menos uma vez passa a 1 − (5/6)^2 = 11/36 ≈ 30,56%, enquanto a linha do lançamento único fica 16,67%. Essa separação é o ponto do terceiro campo.

O motor limita o alvo a [dados, 6×dados]. Dois dados não somam 1 nem 13; oito dados não somam 7. Se o alvo sair do suporte, é empurrado para a soma viável mais próxima antes da enumeração. Mais de 8 dados é recusado porque 6^8 = 1 679 616 e o programa dinâmico está dimensionado para esse limite. Mais de 100 lançamentos é recusado para (1−p)^R não colapsar num 100,00% decorativo.

Leia as duas saídas. A probabilidade de um lançamento é o átomo. A de pelo menos uma vez é 1 − (1 − p)^R, complemento de falhar sempre. Confundir “vou lançar 2d6 vinte vezes” com “a chance de um 7 torna-se 20 × 16,67%” produz 333%, que não é probabilidade. O valor correcto em vinte lançamentos é 1 − (5/6)^20 ≈ 97,39%. Três dados, alvo 10, um lançamento: 27 em 216 formas, p = 12,50%. Dez lançamentos: 1 − (0,875)^10 ≈ 73,69%. O 6/36 do omissão é o caso famoso do craps e dos jogos de tabuleiro; o algoritmo não assume 2d6.

Os dados são mais velhos do que a probabilidade escrita. Cubos de seis faces aparecem na arqueologia mesopotâmica e romana; o alea de alea iacta est é um dado, não uma metáfora posterior. O que é jovem é a enumeração das somas. Galileu escreveu Sopra le scoperte dei dadi para explicar por que o 10 sai mais vezes do que o 9 em 3d6 (27 formas contra 25) apesar de estarem à mesma distância da média 10,5 — correcção a uma disputa de jogo. Huygens e, depois, de Moivre trataram os dados como o exemplo de funções geradoras que ainda vive nos cursos de combinatória.

A SorteCalc enumera em vez de simular porque o espaço de estados é pequeno. Dois dados têm 36 resultados; oito têm 6^8 ≈ 1,68 milhões, que um programa dinâmico conta em milissegundos percorrendo um mapa de somas parciais. Um simulador que lançasse um PRNG 10 000 vezes daria uma estimativa ruidosa de um número que se pode saber exactamente. Chamar à página “simulador” é uma concessão à pesquisa; a matemática é um contador.

A ferramenta responde a duas perguntas que se misturam no craps, nos dados de Sicherman e no dano de RPG. Primeiro: P(soma = t) em n d6 honestos? Segundo: se repetir o experimento R vezes, P(pelo menos um sucesso)? A segunda é o complemento geométrico, não uma enumeração nova. A independência entre lançamentos é assumida. Um dado viciado, um pino limado ou um rolo electrónico correlacionado partem ambos os números.

Não precifica a aposta Pass Line do craps, porque essa aposta é um caminho pelo come-out e pelo ponto, não um total único. Não trata dados que não sejam de seis faces; o motor fixa faces 1..6. Dados Fudge, sistemas d20 e dados explosivos são outros espaços. Os dados de Sicherman (o único outro par de dados de inteiros positivos que replica a distribuição de somas do 2d6) dariam o mesmo P(soma = 7) = 6/36, um teorema, não uma opção do formulário. Use a página para matar o mito de que o 7 está “devido” depois de uma série de 2, e para ver quão depressa “pelo menos uma vez” sobe com R.

Calcular totais de dados começa por faces equiprováveis, não por um teatro de números aleatórios pintados. Dois dados honestos de seis faces, alvo 7, um lançamento: o espaço tem 6 × 6 = 36 pares ordenados. Exactamente seis somam 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). A probabilidade num lançamento é 6/36 = 1/6 ≈ 16,67 por cento. Com R = 1, a probabilidade de ver um 7 pelo menos uma vez coincide, porque falhar uma vez tem chance 5/6.

A segunda pergunta diverge quando se repetem lançamentos independentes. A probabilidade de pelo menos um acerto em R ensaios é 1 − (1 − p)^R com p = 6/36. Dois lançamentos: 1 − (5/6)^2 = 11/36 ≈ 30,56 por cento. Vinte lançamentos: 1 − (5/6)^20 ≈ 97,39 por cento, e não vinte vezes 16,67 por cento, que daria 333 por cento, um absurdo. O produto de uma probabilidade por uma contagem não é probabilidade. O número esperado de acertos seria R p; aqui imprime-se só o complementar da falha total.

A função geradora (x + x^2 + … + x^6)^n tem como coeficiente de x^t o número de resultados que somam t. Em dois dados, os coeficientes de x^2 a x^12 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, e o termo x^7 é 6. A mesma contagem cresce por recorrência: uma forma de somar 0 com zero dados, cada dado novo estende cada soma por faces 1 a 6. Três dados com alvo 10: 27 em 216 formas, 12,50 por cento num lançamento; dez lançamentos dão cerca de 73,69 por cento de pelo menos uma vez.

Galileu escreveu Sopra le scoperte dei dadi para explicar por que o 10 sai mais vezes do que o 9 em três dados — 27 formas contra 25 — apesar de estarem à mesma distância da média 10,5. Huygens e de Moivre tabelaram somas; Feller ainda abre distribuições em reticulado com dois dados. Formas fechadas por inclusão ou raízes da unidade coincidem com a geradora e não alteram 6/36.

Hipóteses: dados independentes e honestos, resultados ordenados equiprováveis, alvo no suporte [n, 6n], lançamentos independentes entre si. Um bónus aditivo constante desloca o alvo, não muda 6^n. A linha Pass do craps é um caminho pelo come-out e pelo ponto, não um total único; esta conta não a precifica. Dados que não sejam de seis faces são outro espaço. O 7 não fica «devido» depois de uma série de 2; o átomo 6/36 não tem memória.