Simulador de Dados

El Simulador de Dados pide tres enteros: Número de dados (1–8, default 2), Total objetivo (default 7) y Tiradas (1–100, default 1). No es un juguete de Monte Carlo que pinta caras aleatorias. Enumera el número exacto de resultados que suman el objetivo, divide por 6^dados y convierte un acierto de una tirada en la probabilidad de ver ese total al menos una vez en R tiradas independientes.

Deje los defaults: dos dados de seis caras, objetivo 7, una tirada. Prob. de una tirada es 16,67% y Prob. al menos una vez también 16,67%, porque con R = 1 coinciden. El 16,67% es 6/36. Los seis pares ordenados que suman 7 son (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). El espacio muestral es 6×6 = 36 pares igualmente verosímiles. Suba Tiradas a 2 y Al menos una vez pasa a 1 − (5/6)^2 = 11/36 ≈ 30,56%, mientras la línea de una tirada sigue en 16,67%. Esa separación es el punto del tercer campo.

El motor recorta el objetivo a [dados, 6×dados]. Dos dados no totalizan 1 ni 13; ocho dados no totalizan 7. Si escribe un objetivo fuera del soporte, se empuja a la suma factible más cercana antes de enumerar. Más de 8 dados se rechaza porque 6^8 = 1.679.616 y el programa dinámico está dimensionado para ese tope. Más de 100 tiradas se rechaza para que (1−p)^R no se hunda en un 100,00% decorativo que esconda una p aún minúscula.

Lea ambas salidas. Prob. de una tirada es el átomo. Al menos una vez es 1 − (1 − p)^R, el complemento de fallar en todas. La gente confunde “tiraré 2d6 veinte veces” con “la chance de un 7 se vuelve 20 × 16,67%”. Ese producto es 333%, que no es una probabilidad. La cifra correcta a veinte tiradas es 1 − (5/6)^20 ≈ 97,39%. La calculadora la muestra si pone Tiradas = 20.

Un contraste: tres dados, objetivo 10, una tirada. Formas de sacar 10 en 3d6: 27 de 216, p = 12,50%. Diez tiradas: 1 − (0,875)^10 ≈ 73,69%. La herramienta usa la misma recurrencia para cualquier par legal (dados, objetivo). No asume 2d6; el ejemplo 6/36 es solo el default, famoso porque el craps y un millar de juegos de mesa se sientan en esa red.

Los dados son más viejos que la probabilidad escrita. Cubos de seis caras aparecen en arqueología mesopotámica y romana; el alea de alea iacta est es un dado, no una metáfora previa. Lo joven es la enumeración de sumas. Galileo escribió Sopra le scoperte dei dadi explicando por qué el 10 sale más que el 9 en 3d6 (27 formas frente a 25) aunque ambos disten lo mismo de la media 10,5: corrección a una disputa de juego. Huygens y, después, de Moivre trataron los dados como el ejemplo de funciones generadoras que aún vive en cada curso de combinatoria.

SorteCalc enumera en vez de simular porque el espacio de estados es diminuto. Dos dados tienen 36 resultados; ocho tienen 6^8 ≈ 1,68 millones, que un programa dinámico cuenta en milisegundos recorriendo un mapa de sumas parciales. Un simulador que tirara un PRNG 10.000 veces le daría una estimación ruidosa de un número que puede conocer exactamente. Llamar a la página “simulador” es un guiño a cómo busca la gente; la matemática es un contador.

La herramienta responde dos preguntas que se mezclan en el craps, en los dados de Sicherman y en el daño de rol. Primera: ¿cuál es P(suma = t) en n d6 justos? Segunda: si repito ese experimento R veces, ¿cuál es P(al menos un éxito)? La segunda es un complemento geométrico, no una enumeración nueva. Se asume independencia entre tiradas. Un dado sesgado, un pip limado o un rodillo electrónico correlacionado rompen ambos números.

No precio una apuesta Pass Line de craps, porque esa apuesta es un camino por come-out y punto, no un total único. No maneja dados que no sean de seis caras; el motor fija caras 1..6. Dados Fudge, sistemas d20 y dados explosivos son otros espacios. Los dados de Sicherman (el único otro par de dados de enteros positivos que replica la distribución de sumas del 2d6) producirían el mismo P(suma = 7) = 6/36, un teorema, no un ajuste de este formulario. Úsela para matar el mito de que el 7 está “debido” tras una racha de 2, y para medir cómo sube “al menos una vez” con R. La tabla 3d6 de Galileo es el ancestro intelectual; la implementación es un DP tipo mochila sobre un grupo aditivo.

Calcular totales de dados empieza por caras equiprobables, no por un teatro de números aleatorios pintados. Dos dados honestos de seis caras, objetivo 7, una tirada: el espacio tiene 6 × 6 = 36 pares ordenados. Exactamente seis suman 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). La probabilidad en una tirada es 6/36 = 1/6 ≈ 16,67 por ciento. Con R = 1, la probabilidad de ver un 7 al menos una vez coincide, porque fallar una vez tiene chance 5/6.

La segunda pregunta diverge cuando se repiten tiradas independientes. La probabilidad de al menos un acierto en R ensayos es 1 − (1 − p)^R con p = 6/36. Dos tiradas: 1 − (5/6)^2 = 11/36 ≈ 30,56 por ciento. Veinte tiradas: 1 − (5/6)^20 ≈ 97,39 por ciento, y no veinte veces 16,67 por ciento, que daría 333 por ciento, un absurdo. El producto de una probabilidad por un recuento no es probabilidad. El número esperado de aciertos sería R p; aquí se imprime solo el complementar del fallo total.

La función generatriz (x + x^2 + … + x^6)^n tiene como coeficiente de x^t el número de resultados que suman t. En dos dados, los coeficientes de x^2 a x^12 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, y el término x^7 es 6. La misma cuenta crece por recurrencia: una forma de sumar 0 con cero dados, cada dado nuevo extiende cada suma por caras 1 a 6. Tres dados con objetivo 10: 27 de 216 formas, 12,50 por ciento en una tirada; diez tiradas dan cerca de 73,69 por ciento de al menos una vez.

Galileo escribió Sopra le scoperte dei dadi para explicar por qué el 10 sale más veces que el 9 en tres dados — 27 formas frente a 25 — pese a estar a la misma distancia de la media 10,5. Huygens y de Moivre tabularon sumas; Feller todavía abre distribuciones en retículo con dos dados. Formas cerradas por inclusión o raíces de la unidad coinciden con la generatriz y no cambian 6/36.

Hipótesis: dados independientes y honestos, resultados ordenados equiprobables, objetivo en el soporte [n, 6n], tiradas independientes entre sí. Un bono aditivo constante desplaza el objetivo, no cambia 6^n. La línea Pass del craps es un camino por el come-out y el punto, no un total único; esta cuenta no la precifica. Dados que no sean de seis caras son otro espacio. El 7 no queda «debido» después de una racha de 2; el átomo 6/36 no tiene memoria.