Varians Beregner

Lad gevinstsandsynlighed stå på 48 %, decimalodds på 2,0, indsatsstørrelse på 10 dollars og forsøg på 1000. Beregn. Standardafvigelse 315,97, varians 99.840,00 og forventet profit −400,00. De tre tal beskriver tusind uafhængige even-money-bets, der vinder 48 % af tiden. Hver gevinst netter +10 (odds 2,0 er even money: du modtager 20 inklusive indsats). Hvert tab er −10. Middel pr. bet er 0,48×10 + 0,52×(−10) = −0,40, så tusind forsøg forventer −400. Andet-momentet pr. bet omkring det middel er 99,84 dollar-kvadrat; gang med 1000, tag kvadratroden, og du har en sessions-SD på 315,97.

Den SD er det praktiske output. Et groft to-tredjedele-bånd omkring midlet (hvis du stoler på en normalapproksimation efter 1000 Bernoulli-forsøg) løber fra −400 − 316 til −400 + 316, altså omkring −716 til −84. Du kan afslutte tusind 48 % even-money-bets i plus; det er en højre hale, ikke centret. Ændrer du forsøg til 4000, ganges variansen med fire og SD med to (631,95), mens forventet profit går til −1.600. Midlet lækker fire gange hurtigere, end SD vokser — de store tals lov i én tabel.

Odds er decimal. 2,0 er even money. 3,0 er 2-til-1: et vundet 10-dollars-bet netter 20, ikke 10. Ved 48 % og 3,0 med 10 og 1000 forsøg flipper midlet positivt (0,48×20 + 0,52×(−10) = 4,4 pr. bet, +4.400 pr. tusind), og SD puster op, fordi gevinst- og tabsatomerne ligger længere fra hinanden. Vil du taste American −110 som 1,91, så konvertér først; feltet er ikke amerikanske odds.

Gevinstsandsynlighed er en procent, 0 til 100. En mønt er 50. En 1,91-prissat fodboldside, du tror er 52 %, går ind som 52, ikke 48. 48 %-standarden er en lidt skæv mønt, den typiske form af en lille husfordel på et even-money casinobet (pass-line er 244/495 ≈ 49,3 % efter pushes er fjernet). Indsatsstørrelse skalerer både middel og SD lineært. Forsøg skalerer middel lineært og SD med kvadratroden.

Vil du have SD pr. bet i stedet for sessions-SD, sæt forsøg til 1: du ser cirka 9,99 dollars standardafvigelse på et 10 even-money 48 %-bet, næsten hele indsatsen — som De Moivre ville have fortalt en gambler i 1718. Over 100.000 bets er midlet −40.000 og SD omkring 3.160, og held er en afrundingsfejl.

Varians er P&L'ets andet moment, den størrelse der vender en −0,40 $ forventet lækage til en session, der stadig kan printe sort eller stadig gå tre gange værre end midlet. Spillere der kun citerer RTP eller husfordel citerer første moment. Bankrolls dør på det andet. Denne beregner tager et to-udfalds-bet — vind med sandsynlighed p til decimalodds o, tab indsatsen ellers — gentager det n gange, og rapporterer det eksakte middel, varians og standardafvigelse af summen under uafhængighed.

Den intellektuelle historie er Abraham de Moivres Doctrine of Chances (1718) og Bernoullis sætning om, at stikprøvemidlet koncentrerer sig, med udsving af orden 1/√n. Et casino er en fabrik, der sælger dig n af disse forsøg. Fabrikkens edge viser sig i midlet; fabrikkens overlevelse viser sig i, at n er stort nok til, at deres √n-støj er lille relativt til n×edge, mens dit n ikke er. Over 1000 even-money 48%-bets er −400 $ midlet og 316 $ SD samme orden, så heldet stadig dominerer. Over 100.000 bets er midlet −40.000 $ og SD omkring 3.160 $, og held er en afrundingsfejl.

To-udfalds-varians er byggestenen under mere eksotiske paytabeller. En slot er en blanding af mange atomer; dens varians er Σ p_i (x_i − μ)², som dette værktøj ikke beregner. Klapper du en slot sammen til «hit / miss», har du smidt det royal-flush-store atom væk, der dominerer andet-momentet. Brug denne beregner til møntkast-formede bets: pass-line, bankør-baccarat (cirka), en sportsside, et handicap. Brug den ikke til keno, slots eller et parlay, hvis payoff er et produkt af ben.

Uafhængighed er den skjulte antagelse. En endelig-shoe blackjack-count, et Martingale der resizer næste indsats, eller et parlay bygget af korrelerede ben bryder alle n × Var(ét bet). Outputtet ganger stadig med Forsøg; det vil være forkert. Sekventielle bets med et stop-loss er heller ikke n i.i.d. kopier. Dette er en fast-indsats, fast-odds, i.i.d.-motor.

Grænser: ingen ruin-risiko, ingen Kelly-sti, ingen højere momenter (skævhed af et 48% even-money-bet er mild; skævhed af en 1-ud-af-1000 longshot er det ikke, og det normale bånd i Sådan bruger du bliver en løgn). Læs Standardafvigelse som P&L'ets L2-bredde, ikke som «maksimalt drawdown». Drawdown er en stistatistik. Varians er ét tal.

Varians er profit-og-tabs andet moment, den størrelse der forvandler et lille forventet læk til en session der stadig kan slutte sort eller stadig gå flere gange værre end middelværdien. Spillere der kun citerer return to player eller husfordel, citerer det første moment. Bankrolls dør på det andet. Abraham de Moivres Doctrine of Chances og Bernoullis sætning sagde allerede at stikprøvemidlet koncentrerer sig, med udsving af ordenen én over kvadratroden af n. Et kasino sælger dig n af disse forsøg. Deres fordel viser sig i midlet; deres overlevelse viser sig fordi deres n er stort nok til at kvadratrodstøj er lille i forhold til n gange fordel, mens dit n ikke er det.

To-udfaldsmodellen er elementær. Vindersandsynlighed p er den indtastede procent divideret med 100. Decimalodds o omdanner et indskud B til nettogevinst W = B(o − 1) og nettotab L = −B. Midlet per indskud er mu = p W + (1 − p) L. Variansen per indskud er p gange (W − mu) i anden plus (1 − p) gange (L − mu) i anden. Uafhængighed på tværs af forsøg ganger variansen med n. Sessionens spredning er kvadratroden af det produkt. Sessionens forventede profit er n gange mu. Det er hele arket: middel, varians og spredning af en sum af uafhængige signede indskud.

Standarderne er 48 procent vinderate, decimalodds 2,0, indskud 10 og 1.000 forsøg. Odds 2,0 er even money: en sejr netter +10 og et tab er −10. Så mu = 0,48 × 10 + 0,52 × (−10) = −0,40. Andet moment er 0,48 × (10 − (−0,40)) i anden plus 0,52 × (−10 − (−0,40)) i anden, altså 0,48 × 10,4 i anden plus 0,52 × 9,6 i anden, det vil sige 0,48 × 108,16 plus 0,52 × 92,16 = 51,9168 + 47,9232 = 99,84. Sessionsvarians er 1.000 × 99,84 = 99.840. Sessionsspredning er kvadratroden af 99.840, omkring 315,97. Forventet sessionsprofit er 1.000 × (−0,40) = −400. De tre tal er de offentliggjorte outputs: 315,97 i spredning, 99.840,00 i varians og −400,00 i forventet profit.

En even-money-omskrivning er værd at gemme. Når W = B og L = −B har man mu = (2p − 1)B og varians per indskud = 4 p (1 − p) B i anden. Ved p = 0,48 er det 4 × 0,48 × 0,52 × 100 = 99,84, i overensstemmelse med udvidelsen. Fire tusind forsøg ganger variansen med fire og spredningen med to, til omkring 631,95, mens forventet profit skalerer til −1.600. Midlet vokser som n og støjen som kvadratroden af n, så fabrikken vinder til sidst ved de store tals lov. Ved n = 1.000 er midlet −400 og spredningen 316 samme orden: et to-tredjedelsbånd under normalapproksimation løber fra omkring −716 til −84. At slutte i sort er en højrehalshændelse, ikke centrum.

Forudsætningerne er uafhængighed, et stationært p, fuldt tab af indskud, decimalodds der allerede netter udbetalingen, og ingen pushes. Korrelerede spil (blackjack fra samme shoe, parlay-ben) puster den sande varians op over denne formel. En 40 procents vinderate ved samme even money ville være et andet middel, mu = −0,20 per dollar, men den offentliggjorte standard er 48 procent, en typisk rekreativ side. Normalapproksimationen er en bekvemmelighed efter tusind Bernoulli-forsøg; den eksakte fordeling er en forskudt binomial. Arket rapporterer det eksakte middel og den eksakte varians af den sum, derefter kvadratroden.