Calculadora de Varianza

Deje Probabilidad de Victoria en 48%, Cuotas Decimales en 2,0, Tamaño de Apuesta en 10 $ y Ensayos en 1000. Calcule. Desviación Típica 315,97 $, Varianza 99.840,00 $ y Beneficio Esperado −400,00 $. Esas tres cifras describen mil apuestas even-money independientes que ganan el 48% de las veces. Cada victoria rinde +10 $ (cuotas 2,0 es even money: recibe 20 $ con la apuesta). Cada pérdida es −10 $. La media por apuesta es 0,48×10 + 0,52×(−10) = −0,40, luego mil ensayos esperan −400 $. El segundo momento por apuesta en torno a esa media es 99,84 dólares-cuadrado; multiplique por 1000, tome la raíz, y tiene un SD de sesión de 315,97 $.

Ese SD es la salida práctica. Una banda de unos dos tercios en torno a la media (si se fía de la aproximación normal tras 1000 Bernoulli) va de −400 − 316 a −400 + 316, es decir unos −716 $ a −84 $. Puede terminar mil apuestas al 48% even-money en negro; es una cola derecha, no el centro. Cambiar Ensayos a 4000 multiplica la varianza por cuatro y el SD por dos (631,95 $) mientras el beneficio esperado va a −1.600 $. La media se fuga cuatro veces más rápido de lo que crece el SD — la ley de los grandes números en una tabla.

Las cuotas son decimales. 2,0 es even money. 3,0 es 2:1: una apuesta ganadora de 10 $ rinde 20 $, no 10 $. Al 48% y 3,0 con 10 $ y 1000 ensayos la media se vuelve positiva (0,48×20 + 0,52×(−10) = 4,4 por apuesta, +4.400 $ por mil) y el SD se infla porque los átomos de ganancia y pérdida están más lejos. Si quiere meter American −110 como 1,91, convierta primero.

La Probabilidad de Victoria es un porcentaje, 0 a 100. Una moneda es 50. Una side de fútbol a 1,91 que cree que es 52% entra como 52, no 48. El 48% por defecto es una moneda ligeramente sesgada, la forma típica de una pequeña ventaja de la casa en una apuesta even-money de casino.

El Tamaño de Apuesta escala media y SD de forma lineal. Los Ensayos escalan la media de forma lineal y el SD con la raíz cuadrada. Si quiere el SD por apuesta en vez del de sesión, ponga Ensayos en 1: verá unos 9,99 $ de desviación típica en una apuesta even-money de 10 $ al 48%, casi la apuesta entera — como De Moivre le habría dicho a un jugador de 1718.

La varianza es el segundo momento del P&L, la cantidad que transforma una fuga esperada de −0,40 $ en una sesión que aún puede imprimir negro o ir tres veces peor que la media. Quien solo cita RTP o ventaja de la casa está citando el primer momento. Los bankrolls mueren en el segundo. Esta calculadora toma una apuesta de dos resultados — gana con probabilidad p a cuotas decimales o, pierde la apuesta en el resto — la repite n veces, e informa la media, la varianza y la desviación típica exactas de la suma bajo independencia.

La historia intelectual es la Doctrine of Chances de Abraham de Moivre (1718) y el teorema de Bernoulli de que la media muestral se concentra, con fluctuaciones de orden 1/√n. Un casino es una fábrica que le vende n de estos ensayos. La ventaja de la fábrica aparece en la media; la supervivencia de la fábrica aparece en el hecho de que n es lo bastante grande para que el ruido √n sea pequeño frente a n×edge, mientras su n no lo es. En 1000 apuestas even-money al 48% la media de −400 $ y el SD de 316 $ son del mismo orden, por eso la suerte aún domina. En 100.000 apuestas la media es −40.000 $ y el SD unos 3.160 $, y la suerte es un error de redondeo.

La varianza de dos resultados es el ladrillo debajo de paytables más exóticos. Una slot es una mezcla de muchos átomos; su varianza es Σ p_i (x_i − μ)², que esta herramienta no calcula. Si colapsa una slot a «acierto / fallo» tiró el átomo tamaño-royal que domina el segundo momento. Use esta calculadora para apuestas con forma de moneda: pass-line, banca de bacará (aproximadamente), una side deportiva, un hándicap. No la use para keno, slots o un parlay cuyo payoff es un producto de piernas.

La independencia es el supuesto escondido. Un count de blackjack de shoe finito, un Martingala que redimensiona la siguiente apuesta, o un parlay de piernas correlacionadas rompen n × Var(una apuesta). La salida seguirá multiplicando por Ensayos; estará mal. Apuestas secuenciales con stop-loss tampoco son n copias i.i.d. Es un motor de stake fijo, cuotas fijas, i.i.d.

Límites: sin ruina, sin camino de Kelly, sin momentos superiores (el sesgo de un even-money al 48% es suave; el de un longshot 1 en 1000 no lo es, y la banda normal citada en Cómo usar se vuelve mentira). Lea la Desviación Típica como la anchura L2 del P&L, no como «drawdown máximo». El drawdown es estadística de trayectoria. La varianza es un solo número.

La varianza es el segundo momento de la ganancia y la pérdida, la cantidad que convierte una fuga esperada pequeña en una sesión que aún puede cerrar en verde o ir varias veces peor que la media. Quien solo cita el retorno al jugador o la ventaja de la casa está citando el primer momento. Los bankrolls mueren en el segundo. La Doctrine of Chances de Abraham de Moivre y el teorema de Bernoulli ya decían que la media muestral se concentra, con fluctuaciones del orden de uno sobre la raíz de n. Un casino le vende n de estos ensayos. Su ventaja aparece en la media; su supervivencia aparece porque su n es lo bastante grande para que el ruido en raíz cuadrada sea pequeño frente a n por la ventaja, mientras que el suyo no lo es.

El modelo de dos resultados es elemental. La probabilidad de victoria p es el porcentaje escrito dividido por 100. La cuota decimal o convierte una apuesta B en ganancia neta W = B(o − 1) y pérdida neta L = −B. La media por apuesta es mu = p W + (1 − p) L. La varianza por apuesta es p por (W − mu) al cuadrado más (1 − p) por (L − mu) al cuadrado. La independencia entre ensayos multiplica la varianza por n. La desviación típica de la sesión es la raíz cuadrada de ese producto. El beneficio esperado de la sesión es n por mu. Eso es toda la hoja: media, varianza y desviación de una suma de apuestas con signo independientes.

Los valores por omisión son una tasa de victoria del 48 por ciento, cuota decimal 2,0, apuesta de 10 y 1.000 ensayos. Cuota 2,0 es dinero par: una victoria rinde +10 y una derrota es −10. Entonces mu = 0,48 × 10 + 0,52 × (−10) = −0,40. El segundo momento es 0,48 × (10 − (−0,40)) al cuadrado más 0,52 × (−10 − (−0,40)) al cuadrado, es decir 0,48 × 10,4 al cuadrado más 0,52 × 9,6 al cuadrado, esto es 0,48 × 108,16 + 0,52 × 92,16 = 51,9168 + 47,9232 = 99,84. La varianza de la sesión es 1.000 × 99,84 = 99.840. La desviación típica de la sesión es la raíz de 99.840, unos 315,97. El beneficio esperado de la sesión es 1.000 × (−0,40) = −400. Esas tres cifras son las publicadas: 315,97 de desviación, 99.840,00 de varianza y −400,00 de beneficio esperado.

Una reescritura a dinero par merece guardarse. Cuando W = B y L = −B se tiene mu = (2p − 1)B y varianza por apuesta = 4 p (1 − p) B al cuadrado. En p = 0,48 eso es 4 × 0,48 × 0,52 × 100 = 99,84, coincidiendo con la expansión. Cuatro mil ensayos multiplican la varianza por cuatro y la desviación por dos, hasta unos 631,95, mientras el beneficio esperado escala a −1.600. La media crece como n y el ruido como raíz de n, de modo que la fábrica acaba ganando por ley de los grandes números. En n = 1.000 la media −400 y la desviación 316 son del mismo orden: una franja de dos tercios bajo aproximación normal va de unos −716 a −84. Cerrar en verde es un suceso de cola derecha, no el centro.

Los supuestos son independencia, un p estacionario, pérdida total de la apuesta, cuotas decimales ya netas y ningún empate técnico. Juegos correlacionados (blackjack del mismo shoe, piernas de combinada) inflan la varianza verdadera por encima de esta fórmula. Una tasa del 40 por ciento en el mismo dinero par sería otra media, mu = −0,20 por dólar, pero el valor por omisión publicado es 48 por ciento, un lado recreativo típico. La aproximación normal es una comodidad tras mil ensayos de Bernoulli; la distribución exacta es un binomial desplazado. La hoja informa la media y la varianza exactas de esa suma, después la raíz.