Calculadora de Variância

Deixe Probabilidade de Vitória em 48%, Odds Decimais em 2,0, Tamanho da Aposta em 10 $ e Ensaios em 1000. Calcule. Desvio-Padrão 315,97 $, Variância 99 840,00 $ e Lucro Esperado −400,00 $. Esses três números descrevem mil apostas even-money independentes que ganham 48% das vezes. Cada vitória rende +10 $ (odds 2,0 é even money: recebe 20 $ com a aposta). Cada perda é −10 $. A média por aposta é 0,48×10 + 0,52×(−10) = −0,40, logo mil ensaios esperam −400 $. O segundo momento por aposta em torno dessa média é 99,84 dólares-quadrado; multiplique por 1000, tire a raiz, e tem um SD de sessão de 315,97 $.

Esse SD é o output prático. Uma banda de cerca de dois terços em torno da média (se confiar na aproximação normal após 1000 Bernoulli) vai de −400 − 316 a −400 + 316, ou seja cerca de −716 $ a −84 $. Pode acabar mil apostas a 48% even-money no preto; é uma cauda direita, não o centro. Mudar Ensaios para 4000 multiplica a variância por quatro e o SD por dois (631,95 $) enquanto o lucro esperado vai a −1 600 $. A média foge quatro vezes mais depressa do que o SD cresce — a lei dos grandes números numa tabela.

As odds são decimais. 2,0 é even money. 3,0 é 2:1: uma aposta vencedora de 10 $ rende 20 $, não 10 $. A 48% e 3,0 com 10 $ e 1000 ensaios a média vira positiva (0,48×20 + 0,52×(−10) = 4,4 por aposta, +4 400 $ por mil) e o SD inflaciona porque os átomos de ganho e perda estão mais longe. Se quiser meter American −110 como 1,91, converta primeiro.

A Probabilidade de Vitória é uma percentagem, 0 a 100. Uma moeda é 50. Uma side de futebol a 1,91 que acredita ser 52% entra como 52, não 48. O 48% omissão é uma moeda ligeiramente enviesada, a forma típica duma pequena vantagem da casa numa aposta even-money de casino.

O Tamanho da Aposta escala média e SD de forma linear. Os Ensaios escalam a média de forma linear e o SD com a raiz quadrada. Se quiser o SD por aposta em vez do de sessão, ponha Ensaios em 1: verá cerca de 9,99 $ de desvio-padrão numa aposta even-money de 10 $ a 48%, quase a aposta inteira — como De Moivre teria dito a um jogador de 1718.

A variância é o segundo momento do P&L, a quantidade que transforma uma fuga esperada de −0,40 $ numa sessão que ainda pode imprimir preto ou ir três vezes pior do que a média. Quem só cita RTP ou vantagem da casa está a citar o primeiro momento. As bancas morrem no segundo. Esta calculadora toma uma aposta de dois resultados — ganha com probabilidade p a odds decimais o, perde a aposta no resto — repete-a n vezes, e reporta a média, a variância e o desvio-padrão exactos da soma sob independência.

A história intelectual é a Doctrine of Chances de Abraham de Moivre (1718) e o teorema de Bernoulli de que a média amostral concentra, com flutuações de ordem 1/√n. Um casino é uma fábrica que lhe vende n destes ensaios. A vantagem da fábrica aparece na média; a sobrevivência da fábrica aparece no facto de n ser grande o suficiente para o ruído √n ser pequeno face a n×edge, enquanto o seu n não é. Em 1000 apostas even-money a 48% a média de −400 $ e o SD de 316 $ são da mesma ordem, por isso a sorte ainda domina. Em 100 000 apostas a média é −40 000 $ e o SD cerca de 3 160 $, e a sorte é um erro de arredondamento.

A variância de dois resultados é o tijolo por baixo de paytables mais exóticos. Uma slot é uma mistura de muitos átomos; a sua variância é Σ p_i (x_i − μ)², que esta ferramenta não calcula. Se colapsar uma slot a "acerto / falha" deitou fora o átomo tamanho-royal que domina o segundo momento. Use esta calculadora para apostas em forma de moeda: pass-line, banqueiro de bacará (aproximadamente), uma side desportiva, um handicap. Não a use para keno, slots ou um parlay cujo payoff é um produto de pernas.

A independência é o pressuposto escondido. Um count de blackjack de sapato finito, um Martingale que redimensiona a próxima aposta, ou um parlay de pernas correlacionadas partem n × Var(uma aposta). O output continuará a multiplicar por Ensaios; estará errado. Apostas sequenciais com stop-loss também não são n cópias i.i.d. É um motor de stake fixo, odds fixas, i.i.d.

Limites: sem ruína, sem caminho de Kelly, sem momentos superiores (o skew duma even-money a 48% é brando; o duma longshot 1 em 1000 não é, e a banda normal citada em Como usar torna-se mentira). Leia o Desvio-Padrão como a largura L2 do P&L, não como "drawdown máximo". Drawdown é estatística de trajectória. Variância é um só número.

A variância é o segundo momento do lucro e da perda, a quantidade que transforma um furo esperado pequeno numa sessão que ainda pode fechar verde ou ir várias vezes pior do que a média. Quem só cita o retorno ao jogador ou a vantagem da casa está a citar o primeiro momento. As bancas morrem no segundo. A Doctrine of Chances de Abraham de Moivre e o teorema de Bernoulli já diziam que a média amostral se concentra, com flutuações da ordem de um sobre a raiz de n. Um casino vende-lhe n destes ensaios. A vantagem deles aparece na média; a sobrevivência deles aparece porque o n deles é grande o suficiente para o ruído em raiz quadrada ser pequeno face a n vezes a vantagem, enquanto o seu n não é.

O modelo de dois resultados é elementar. A probabilidade de vitória p é a percentagem escrita a dividir por 100. A odd decimal o converte uma aposta B num ganho líquido W = B(o − 1) e numa perda líquida L = −B. A média por aposta é mu = p W + (1 − p) L. A variância por aposta é p vezes (W − mu) ao quadrado mais (1 − p) vezes (L − mu) ao quadrado. A independência entre ensaios multiplica a variância por n. O desvio padrão da sessão é a raiz quadrada desse produto. O lucro esperado da sessão é n vezes mu. É toda a folha: média, variância e desvio padrão de uma soma de apostas com sinal independentes.

Os valores por omissão são taxa de vitória de 48 por cento, odd decimal 2,0, aposta de 10 e 1 000 ensaios. Odd 2,0 é dinheiro par: uma vitória rende +10 e uma derrota é −10. Então mu = 0,48 × 10 + 0,52 × (−10) = −0,40. O segundo momento é 0,48 × (10 − (−0,40)) ao quadrado mais 0,52 × (−10 − (−0,40)) ao quadrado, ou seja 0,48 × 10,4 ao quadrado mais 0,52 × 9,6 ao quadrado, isto é 0,48 × 108,16 + 0,52 × 92,16 = 51,9168 + 47,9232 = 99,84. A variância da sessão é 1 000 × 99,84 = 99 840. O desvio padrão da sessão é a raiz de 99 840, cerca de 315,97. O lucro esperado da sessão é 1 000 × (−0,40) = −400. São as três figuras publicadas: 315,97 de desvio, 99 840,00 de variância e −400,00 de lucro esperado.

Uma reescrita a dinheiro par vale a pena guardar. Quando W = B e L = −B tem-se mu = (2p − 1)B e variância por aposta = 4 p (1 − p) B ao quadrado. Em p = 0,48 isso é 4 × 0,48 × 0,52 × 100 = 99,84, a coincidir com a expansão. Quatro mil ensaios multiplicam a variância por quatro e o desvio por dois, para cerca de 631,95, enquanto o lucro esperado escala para −1 600. A média cresce como n e o ruído como raiz de n, portanto a fábrica acaba por ganhar por lei dos grandes números. Em n = 1 000 a média −400 e o desvio 316 são da mesma ordem: uma faixa de dois terços sob aproximação normal vai de cerca de −716 a −84. Fechar no verde é um acontecimento da cauda direita, não o centro.

Os pressupostos são independência, um p estacionário, perda total da aposta, odds decimais já líquidas e nenhum empate técnico. Jogos correlacionados (blackjack do mesmo shoe, pernas de combinada) inflacionam a variância verdadeira acima desta fórmula. Uma taxa de 40 por cento no mesmo dinheiro par seria outra média, mu = −0,20 por dólar, mas o valor por omissão publicado é 48 por cento, um lado recreativo típico. A aproximação normal é uma comodidade após mil ensaios de Bernoulli; a distribuição exacta é um binomial deslocado. A folha reporta a média e a variância exactas dessa soma, depois a raiz.