Calculadora Valor Esperado

Por omissão: Probabilidade de Ganho 55 por cento, Odds Decimais 1,91, Aposta 100. Calcule. Valor Esperado 5,05 e ROI 5,05%. O lucro se a aposta ganha é 100 × 1,91 − 100 = 91. VE = 0,55 × 91 − 0,45 × 100 = 50,05 − 45 = 5,05. O ROI é VE/aposta = 5,05%. A probabilidade de equilíbrio a 1,91 é 1/1,91 ≈ 52,356%. Os 55% escritos ficam 2,644 pontos de vantagem acima desse equilíbrio, daí o VE positivo.

Desça a probabilidade para 52% com os mesmos 1,91 e 100. VE = 0,52 × 91 − 0,48 × 100 = 47,32 − 48 = −0,68, ROI −0,68%. O preço não mudou; a probabilidade mudou. Suba as odds para 2,10 a 55% e 100: lucro 110, VE = 0,55 × 110 − 0,45 × 100 = 15,50, ROI 15,5%. Aposta 250 nos 55% / 1,91 originais: o VE escala para 12,625, o ROI fica 5,05% porque VE e aposta cresceram ambos 2,5 vezes.

O campo de probabilidade é a sua estimativa, não o implícito 1/odds. Se escrever 52,36% a 1,91 deve ver VE perto de 0. Se escrever a probabilidade implícita como se fosse a sua vantagem, fabrica uma aposta de VE zero e não aprende nada. Não escreva 55% porque parece sortudo; escreva-o porque um modelo ou um estudo de closing line disse 55%.

Zero trabalhado: probabilidade 50%, odds 2,00, aposta 100 → VE 0, ROI 0, uma moeda justa a evens. Análogo de vantagem da casa: probabilidade 48%, odds 2,00, aposta 100 → VE −4, ROI −4%. A omissão desportiva (55%, 1,91, 100) tem o sinal contrário: um pequeno positivo depois do juice se e só se os 55% forem verdadeiros.

Recarregue 55, 1,91, 100 para recuperar 5,05 e 5,05%. A ferramenta não sabe se os 55% estão calibrados. Só multiplica os números que aceita como entradas. Se o modelo devolver um intervalo 53–57% em vez de um ponto, corra os dois extremos: 53% a 1,91 é VE = 1,23; 57% é 8,87.

O valor esperado é a média ponderada por probabilidade do lucro e da perda numa única aposta. O tratado de Huygens de 1657 Sobre o Raciocínio nos Jogos de Azar fixou o preço justo de um jogo nesta média ponderada. As apostas desportivas usam o mesmo objecto: se p é a verdadeira hipótese de ganho e as odds decimais o são pagas, VE = p(o−1)S − (1−p)S. O calculador existe para tornar esse produto visível quando p, o e S são conhecidos.

A probabilidade implícita da casa 1/o não é p. Só existe vantagem quando p > 1/o (mais qualquer comissão). Os estudos de closing-line value tratam o fecho do mercado como um estimador ruidoso de p; bater o close é evidência, não prova de que os 55% de hoje à noite eram verdadeiros. Esta ferramenta não vai buscar fechos. Toma o seu p como dado.

Objectivo: separar um bom preço de uma boa sensação. Um favorito a 1,91 que honestamente tem a 55% é +VE. O mesmo 1,91 que tem a 51% é −VE. Ambos podem ganhar esta noite. Só um tem média positiva. O crescimento da banca ainda precisa de muitos ensaios independentes; uma média de +5,05 dólares em 100 é um ROI de 5%, que a variância afoga num cartão de fim-de-semana.

Limites: ganho/perda binário, sem empates, sem each-way, sem redução de dead-heat, sem splits de handicap asiático a um quarto. A probabilidade é um número, não uma distribuição. A aposta é constante. A correlação com outras apostas no boletim ignora-se. Huygens assumia p conhecido; o utilizador não tem p conhecido a menos que o processo seja uma moeda física ou um RNG certificado.

História depois de Huygens: Pascal, Fermat e mais tarde de Moivre no binómio; Kelly em 1956 sobre quanto apostar quando o VE é positivo; Thorp no blackjack e depois no desporto e nos mercados. Este calculador pára no primeiro momento. Não dimensiona a aposta (veja Kelly) e não tira o vig de uma casa (veja margem). Diz a média do lucro com sinal se o seu p for o que a natureza usa.

A esperança matemática é a média ponderada pela probabilidade do lucro e da perda numa única aposta. O tratado de 1657 de Christiaan Huygens sobre o raciocínio nos jogos de azar fixou o preço justo de um jogo nesta média ponderada. As apostas desportivas usam o mesmo objecto. Se p é a verdadeira hipótese de vitória e as odds decimais o são pagas sobre a aposta S, a esperança iguala p vezes (S vezes o menos S) menos (1 − p) vezes S. Reescrita algébrica: a esperança iguala S vezes (p o − 1). A figura é positiva se e só se p exceder 1/o, a probabilidade de equilíbrio implícita no preço. A probabilidade implícita da casa 1/o não é p. Só existe margem quando o seu p fica acima desse limiar após qualquer comissão.

Os valores por omissão publicados são probabilidade de vitória de 55 por cento, odds decimais 1,91 e aposta de 100. O lucro se a aposta ganhar é 100 × 1,91 − 100 = 91. A esperança iguala 0,55 × 91 − 0,45 × 100 = 50,05 − 45 = 5,05. O retorno sobre o investimento é 5,05 / 100 = 5,05 por cento. A probabilidade de equilíbrio a 1,91 é 1/1,91 ≈ 52,356 por cento. Os 55 por cento escritos ficam 2,644 pontos de margem acima desse equilíbrio, por isso a média é positiva. Confira a forma compacta: p o − 1 = 0,55 × 1,91 − 1 = 1,0505 − 1 = 0,0505, vezes 100 iguala 5,05, a coincidir com a esperança em dinheiro e com o retorno.

Baixe a probabilidade para 52 por cento com os mesmos 1,91 e 100. Então a esperança iguala 0,52 × 91 − 0,48 × 100 = 47,32 − 48 = −0,68. O preço não mudou; a probabilidade mudou. Suba as odds para 2,10 a 55 por cento e 100: lucro de vitória 110, esperança = 0,55 × 110 − 0,45 × 100 = 60,5 − 45 = 15,50, um retorno de 15,5 por cento. Aposta 250 nos originais 55 por cento e 1,91: a esperança escala para 12,625, o retorno fica 5,05 por cento porque a média e a aposta escalaram ambas por 2,5. Se escrever os 52,36 por cento implícitos a 1,91 deve ver uma média perto de zero. Escrever a probabilidade implícita como se fosse a sua margem fabrica um zero e chama-lhe análise.

A variância do lucro com sinal é p (lucro de vitória − média) ao quadrado mais (1 − p) (perda − média) ao quadrado, não apresentada aqui. Nos valores por omissão é grande face a 5,05: um único +91 ou −100 empequenece uma média de 5,05. O crescimento da banca ainda precisa de muitos ensaios independentes. Os estudos de valor de linha de fecho tratam o fecho do mercado como um estimador ruidoso de p; bater o fecho é evidência, não uma prova de que os 55 por cento de hoje à noite eram verdadeiros. Esta folha não vai buscar fechos. Toma o seu p como dado.

Os pressupostos: um vencedor, aposta perdida na totalidade numa derrota, odds decimais e líquidas, p a frequência verdadeira no sentido de ensaios independentes. Se p for uma crença bayesiana em vez de uma frequência, a esperança continua a ser a média da variável aleatória que definiu, mas a calibração é sua. A folha reporta esperança e retorno sobre o investimento. Huygens precificou uma lotaria somando prémio vezes probabilidade. A forma desportiva é essa soma com dois prémios: mais (o − 1)S e menos S.