Calculadora Critério de Kelly

Por omissão: Probabilidade de Ganho 55 por cento, Odds Decimais 1,91, Banca 1000. Calcule. Kelly % 5,55% e Aposta Óptima 55,49. Aqui b = 1,91 − 1 = 0,91, p = 0,55, q = 0,45, f* = (b p − q)/b = (0,91×0,55 − 0,45)/0,91 = 0,0505/0,91 ≈ 0,0554945. Vezes 1000 é 55,49. Isso é Kelly completo, a fracção que maximiza o logaritmo esperado da riqueza se p e b forem exactos e as apostas i.i.d.

Meio Kelly seria cerca de 2,77% ou 27,75 nesta banca; o motor não imprime fracções, portanto parta a aposta se quiser o amortecedor convencional. Desça p para 52,36% (o equilíbrio a 1,91): f* vai a 0, aposta 0. Abaixo disso a fórmula iria negativa e o motor trava em 0. Suba p para 60% a 1,91: b p − q = 0,146, /0,91 ≈ 0,1604, aposta 160,44 em 1000 — agressivo, e sensível a um 60% provavelmente excesso de confiança.

A banca é o rolo dedicado, não o rendimento mensal. Mudar 1000 para 4000 quadruplica a aposta para 221,98 e deixa Kelly % inalterado, porque f* não depende da riqueza na derivação de utilidade logarítmica. Odds 2,50 a 55%: b = 1,50, f* = 0,25, aposta 250 em 1000 — Kelly completo num outsider com 55% reivindicados é enorme porque a vantagem reivindicada é enorme; desconfie dos 55% antes de desconfiar da fórmula.

Recarregue 55, 1,91, 1000 para recuperar 5,55% e 55,49. Compare com os 5,05 dólares do calculador de VE numa aposta de 100: Kelly não é «aposte 100 porque o VE é mais». É uma fracção óptima de crescimento dados p e b. Se o seu p é um palpite, encolha f*. Meio Kelly trabalhado: 0,5 × 55,49 = 27,75. Um quarto é 13,87. Não são linhas impressas; são as respostas práticas usuais quando os 55% vieram de um modelo ruidoso e não de uma moeda física. Um worked 60% a 1,91 já pede cerca de 160 unidades em 1000 de banca — trate esse salto como um aviso de calibração, não como um convite.

O critério de Kelly é uma fracção de aposta f* que maximiza E[log riqueza] para uma aposta repetida com odds conhecidas e probabilidade de ganho conhecida. John L. Kelly Jr. publicou-o num artigo de 1956 do Bell System Technical Journal sobre taxa de informação. Edward Thorp levou-o ao blackjack, ao desporto e depois aos títulos. O Kelly completo é agressivo: maximiza o crescimento mediano no modelo e produz drawdowns de estômago na prática. Muitos praticantes usam meio ou um quarto de Kelly.

Objectivo deste calculador: transformar p, odds decimais e banca em f* e numa aposta em dinheiro para uma aposta binária. É o companheiro de dimensionamento da ferramenta de valor esperado, que só reporta a média. VE positivo não diz quanto apostar; Kelly diz, sob utilidade logarítmica e p conhecido.

Limites: p não é conhecido. Sobrestimar p é a principal forma de o Kelly rebentar; a fracção é linear na vantagem bp − q, portanto dois pontos de fantasia em p são um erro relativo grande quando a verdadeira vantagem é dois pontos. Apostas correlacionadas simultâneas precisam de um Kelly multivariado que esta fórmula de um tiro não é. Tectos de mesa e limites de casa ignoram-se. A banca tem de ser o capital de risco verdadeiro; incluir a renda do mês que vem inflaciona f* até à ruína.

História: o artigo de Kelly é sobre informação lateral à maneira das corridas e capacidade de canal; a forma de jogo f* = (bp − q)/b é a generalização do dinheiro par com b = o − 1 líquido. A popularização Fortune's Formula (via o livro posterior de Poundstone com esse nome) e o trabalho de market-making de Thorp tornaram «Kelly» um slogan. Os casinos não ligam. As casas de apostas limitam vencedores quer tenham usado Kelly quer unidades.

Não é conselho para apostar 5,55% da riqueza num bilhete a 1,91 porque um formulário abriu em 55%. Se p for 55% na verdade e as apostas se repetirem, o Kelly completo é a fracção óptima de crescimento no modelo i.i.d. Se p for 55% na esperança, a fracção prática óptima é menor, muitas vezes muito menor. O travão a zero quando a vantagem é negativa é o único «não aposte» que o motor alguma vez dirá.

O critério de Kelly é uma fracção de aposta f-estrela que maximiza o logaritmo esperado da riqueza para uma aposta repetida com odds conhecidas e probabilidade de vitória conhecida. John L. Kelly Jr. publicou-o num artigo de 1956 do Bell System Technical Journal sobre taxa de informação. Edward Thorp levou-o ao blackjack, ao desporto e depois aos títulos. O Kelly pleno é agressivo: maximiza o crescimento mediano no modelo e produz quebras de estômago na prática. Muitos praticantes usam meio ou um quarto de Kelly. A esperança positiva não diz quanto apostar; esta fracção diz, sob utilidade logarítmica e p conhecido.

A derivação cabe num parágrafo. As odds líquidas b igualam as odds decimais menos um. A probabilidade de vitória p é a percentagem escrita sobre 100, e q iguala 1 − p. A riqueza é multiplicada por (1 + f b) com probabilidade p e por (1 − f) com probabilidade q. A função de crescimento G(f) iguala p log(1 + f b) mais q log(1 − f). Anular a derivada dá f-estrela = (b p − q) / b quando b é positivo, caso contrário zero. Se b p − q não for positivo, o máximo no intervalo unitário está em zero e a folha grampa a fracção aí. A aposta em dinheiro é a banca vezes f-estrela. O numerador b p − q é a margem por unidade apostada, a mesma quantidade que faz a esperança igual à aposta vezes (p o − 1). Kelly divide essa margem por b.

Os valores por omissão publicados são 55 por cento, odds decimais 1,91 e banca de 1 000. Então b = 0,91, p = 0,55, q = 0,45. O numerador iguala 0,91 × 0,55 − 0,45 = 0,5005 − 0,45 = 0,0505. A fracção iguala 0,0505 / 0,91 ≈ 0,0554945, reportada como 5,55 por cento. A aposta óptima iguala 55,49 numa banca de 1 000. Esses 5,55 por cento não são o folclore de 55 por cento a 2,10. A 2,10 ter-se-ia b = 1,10 e f-estrela = (1,10 × 0,55 − 0,45) / 1,10 = 0,155 / 1,10 ≈ 14,09 por cento, uma aposta muito mais gorda. A figura de 5,55 por cento é o preço 1,91, cujo equilíbrio já é 52,36 por cento, portanto uma opinião a 55 por cento é só uma margem de 2,64 pontos pousada num favorito curto.

Meio Kelly seria cerca de 2,77 por cento ou 27,75 nesta banca; divida a aposta se quiser o amortecedor convencional. Baixe p para 52,36 por cento, o equilíbrio a 1,91, e f-estrela vai a 0. Abaixo disso a fórmula iria a negativo e é grampeada a 0. Suba p para 60 por cento a 1,91: numerador 0,91 × 0,60 − 0,40 = 0,146, a dividir por 0,91 ≈ 0,1604, aposta 160,44 em 1 000, agressivo e sensível a uns 60 por cento provavelmente demasiado confiantes. A banca é o rolo dedicado, não o rendimento mensal. Mudar 1 000 para 4 000 quadruplica a aposta para 221,98 sem mudar a percentagem.

Os pressupostos: p constante conhecido, b conhecido, utilidade logarítmica, apostas infinitamente divisíveis, repetições independentes e identicamente distribuídas, sem apostas correlacionadas simultâneas. Sobrestimar p é a principal forma de o Kelly explodir; a fracção é linear na margem, portanto uma fantasia de dois pontos em p é um erro relativo grande quando a margem verdadeira é de dois pontos. A folha reporta a percentagem de Kelly e a aposta óptima para uma aposta binária. É Kelly pleno. Não é uma promessa de que 55,49 é seguro.